Квадрат

• Разделы:
  • Свойства
  • Применение
  • Вариации и обобщения
  • См. также
  • Примечания
  • Литература
  • Ссылки

У этого термина существуют и другие значения, см. Квадрат (значения).

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой (90∘){displaystyle (90^{circ })}[2].

Квадрат
Квадрат со стороной a{displaystyle a} и диагональю d{displaystyle d}
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D4)
Площадь	a2
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Содержание

• 1 Варианты определения
• 2 Свойства
  • 2.1 Вписанная и описанная окружности
  • 2.2 Площадь
  • 2.3 Уравнение квадрата
  • 2.4 Математические проблемы
  • 2.5 Симметрия
• 3 Применение
  • 3.1 В математике
  • 3.2 Орнаменты и паркеты
  • 3.3 Другие применения
  • 3.4 Графика
• 4 Вариации и обобщения
  • 4.1 Многомерное пространство
  • 4.2 Неевклидова геометрия
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Литература
• 8 Ссылки

Варианты определения

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].

• Геометрическая фигура, являющаяся одновременно прямоугольником и ромбом.
• Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
• Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
• Ромб, у которого диагонали равны.
• Ромб, у которого два соседних угла равны.
• Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
• Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
• Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства

Основной источник: [4]

Далее в этом разделе a{displaystyle a}

  обозначает длину стороны квадрата, d{displaystyle d}  — длину диагонали, R{displaystyle R}  — радиус описанной окружности, r{displaystyle r}  — радиус вписанной окружности.

Периметр квадрата P{displaystyle P}

  равен:

P=4a=42R=8r{displaystyle P=4a=4{sqrt {2}}R=8r} .

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали d=a2.{displaystyle d=a{sqrt {2}}.}

Вписанная и описанная окружности

  Вписанная и описанная окружности для квадрата

•  Площадь квадрата
•  

  Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь S{displaystyle S}

  квадрата равна

S=a2=2R2=4r2=12d2{displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 over 2}d^{2}} .

Из формулы S=a2,{displaystyle S=a^{2},}

  связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства[5].

1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

  К уравнению квадрата; здесь R=2,x0=y0=0{displaystyle R=2,x_{0}=y_{0}=0} 

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке {x0,y0}{displaystyle {x_{0},y_{0}}}

  и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:

|x−x0|+|y−y0|=R,{displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,} 

где R{displaystyle R}

  — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна R2,{displaystyle R{sqrt {2}},}  его диагональ равна 2R,{displaystyle 2R,}  а площадь квадрата равна 2R2.{displaystyle 2R^{2}.}   К уравнению квадрата

1. |x−y|+|x+y|=a{displaystyle |x-y|+|x+y|=a}  (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
2. max(x2,y2)=r2{displaystyle max(x^{2},y^{2})=r^{2}} 
3. (в полярных координатах[7]) r(φ)=min(r|cos⁡φ|,r|sin⁡φ|){displaystyle quad r(varphi )=min left({frac {r}{|cos varphi |}},{frac {r}{|sin varphi |}}right)} 

Математические проблемы

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

• Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

  Пример квадрирования квадрата 112×112{displaystyle 112times 112} 

• Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
• Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
• Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
• Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия

  Линии симметрии

• одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
• четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение

В математике

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике квадрат может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

◻u:=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2−1c2∂2u∂t2{displaystyle square u:={frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial z^{2}}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}} 

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].

Графы:K4полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

3-симплекс (3D)

Орнаменты и паркеты

• Мозаики, включающие квадраты
•  
•  
•  

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

• Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
• ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
• 口 (Китайский иероглиф «рот»)
• 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

• <span style=»border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;»>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения

Многомерное пространство

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

  Построение квадрата с использованием циркуля и линейки  Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

• Алгоритм «движущиеся квадраты»
• Квадрат Полибия
• Квадратная матрица
• Квадратриса
• Площадь произвольного четырёхугольника
• Первая теорема Тебо

Примечания

1. ↑ Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
2. ↑ Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
3. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
4. ↑ 1 2 Каплун, 2014, с. 171—173.
5. ↑ Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
6. ↑ Уравнение квадрата в декартовой системе координат  (неопр.). Дата обращения: 9 ноября 2021. Архивировано 9 ноября 2021 года.
7. ↑ What is the polar equation for a square, if any?
8. ↑ Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.

Литература

В родственных проектах

•  Значения в Викисловаре
•  Медиафайлы на Викискладе

• Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО «Феникс», 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки

• Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.