wiki

Абелева группа

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной; то есть группа (G,∗){displaystyle (G,*)} абелева если a∗b=b∗a{displaystyle a*b=b*a} для любых двух элементов a,b∈G{displaystyle a,;bin G}.

Групповушная операция в абелевых группах обычно называется «сложением» и обозначается знаком +{displaystyle +}.

Название дано в честь норвежского математика Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Содержание

Примеры

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа G=⟨a⟩{displaystyle G=langle arangle } . Действительно, для любых x=an{displaystyle x=a^{n}}  и y=am{displaystyle y=a^{m}}  верно, что
    xy=aman=am+n=anam=yx{displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx} .
    • В частности, целые числа Z{displaystyle mathbb {Z} }  образуют коммутативную группу по сложению, также как и классы вычетов Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } .
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению. В том числе и вещественные числа с операцией сложения.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца, в частности, ненулевые элементы любого поля, образуют абелеву группу по умножению. Например, вещественные числа, не равные нулю, с операцией умножения.

Связанные определения

  • По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства

  • Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
    • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n{displaystyle n}  — натуральное число, а x{displaystyle x}  — элемент коммутативной группы G{displaystyle G}  с операцией, обозначаемой +, тогда nx{displaystyle nx}  можно определить как x+x+…+x{displaystyle x+x+ldots +x}  (n{displaystyle n}  раз) и (−n)x=−(nx){displaystyle (-n)x=-(nx)} .
  • Множество гомоморфизмов Hom⁡(G,H){displaystyle operatorname {Hom} (G,;H)}  всех групповых гомоморфизмов из G{displaystyle G}  в H{displaystyle H}  само является абелевой группой. Действительно, пусть f,g:G→H{displaystyle f,;g:Gto H}  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f+g{displaystyle f+g} , заданная как (f+g)(x)=f(x)+g(x){displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)} , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H{displaystyle H}  некоммутативная группа).

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.Zmn{displaystyle mathbb {Z} _{mn}}

  изоморфно прямой сумме Zm{displaystyle mathbb {Z} _{m}}  и Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}}  тогда и только тогда, когда m{displaystyle m}  и n{displaystyle n}  взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу G{displaystyle G}

  в форме прямой суммы

Zk1⊕…⊕Zku{displaystyle mathbb {Z} _{k_{1}}oplus ldots oplus mathbb {Z} _{k_{u}}} 

двумя различными способами:

  • Где числа k1,…,ku{displaystyle k_{1},;ldots ,;k_{u}}  степени простых
  • Где k1{displaystyle k_{1}}  делит k2{displaystyle k_{2}} , которое делит k3{displaystyle k_{3}} , и так далее до ku{displaystyle k_{u}} .

Например, Z/15Z=Z15{displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} =mathbb {Z} _{15}}

  может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z/15Z={0,5,10}⊕{0,3,6,9,12}{displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} ={0,;5,;10}oplus {0,;3,;6,;9,;12}} . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения

  • Дифференциальной группой называется абелева группа C{displaystyle mathbf {C} } , в которой задан такой эндоморфизм d:C→C{displaystyle dcolon mathbf {C} to mathbf {C} } , что d2=0{displaystyle d^{2}=0} . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра kerd{displaystyle ker ,d}  — циклами, элементы образа Imd{displaystyle mathrm {Im} ,d}  — границами.

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Читайте также