wiki

Центр масс

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).

Содержание

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[2]:

r→c=∑imir→i∑imi,{displaystyle {vec {r}}_{c}={frac {sum limits _{i}m_{i}{vec {r}}_{i}}{sum limits _{i}m_{i}}},} 

где r→c{displaystyle {vec {r}}_{c}}

  — радиус-вектор центра масс, r→i{displaystyle {vec {r}}_{i}}  — радиус-вектор i-й точки системы,  mi{displaystyle ~m_{i}}  — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r→c=1M∫Vρ(r→)r→dV,{displaystyle {vec {r}}_{c}={1 over M}int limits _{V}rho ({vec {r}}){vec {r}}dV,} 
M=∫Vρ(r→)dV,{displaystyle M=int limits _{V}rho ({vec {r}})dV,} 

где  M{displaystyle ~M}

  — суммарная масса системы,  V{displaystyle ~V}  — объём,  ρ{displaystyle ~rho }  — плотность.Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами Mi{displaystyle M_{i}}

 , то радиус-вектор центра масс такой системы Rc{displaystyle R_{c}}  связан с радиус-векторами центров масс тел Rci{displaystyle R_{ci}}  соотношением[3]:

R→c=∑iMiR→ci∑iMi.{displaystyle {vec {R}}_{c}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec {R}}_{ci}}{sum limits _{i}M_{i}}}.} 

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

xs=Vy2πS{displaystyle x_{s}={frac {V_{y}}{2pi S}}}  и ys=Vx2πS{displaystyle y_{s}={frac {V_{x}}{2pi S}}} , где Vx,Vy{displaystyle V_{x},V_{y}}  — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S{displaystyle S}  — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

В механике

Понятие центра масс широко используется в механике и физике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

r→c=∑ir→iEi∑iEi,{displaystyle {vec {r}}_{c}={frac {sum limits _{i}{vec {r}}_{i}E_{i}}{sum limits _{i}E_{i}}},} 

где r→c{displaystyle {vec {r}}_{c}}

  — радиус-вектор центра масс, r→i{displaystyle {vec {r}}_{i}}  — радиус-вектор i-й частицы системы,  Ei{displaystyle ~E_{i}}  — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[4].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (center-of-mass). Оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

v→c=c2∑iEi⋅∑ip→i.{displaystyle {vec {v}}_{c}={frac {c^{2}}{sum limits _{i}E_{i}}}cdot sum limits _{i}{vec {p}}_{i}.} 

Центр тяжести

Центр тяжестиУ этого термина существуют и другие значения, см. Центр тяжести (значения).

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Примечания

  1. ↑ Тарг С. М.  Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  2. ↑ Журавлёв, 2001, с. 66.
  3. ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  4. ↑ Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля

Литература

Читайте также