Тороидальная система координат

Разделы:

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Координатные поверхности
- 2.2 Дифференциальные характеристики
3 Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах
4 Дифференциальные уравнения
5 Литература
6 Ссылки

Определение

Тороидальной система координат (α,β,φ){displaystyle (alpha ,beta ,varphi )}

${displaystyle (alpha ,beta ,varphi )}$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

x=cshαcos⁡φchα−cos⁡βy=cshαsin⁡φchα−cos⁡βz=csin⁡βchα−cos⁡β{displaystyle x={frac {c,mathrm {sh} ,alpha cos varphi }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}quad quad y={frac {c,mathrm {sh} ,alpha sin varphi }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}quad quad z={frac {csin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}}

{displaystyle x={frac {c,mathrm {sh} ,alpha cos varphi }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}quad quad y={frac {c,mathrm {sh} ,alpha sin varphi }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}quad quad z={frac {csin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}}

где c>0{displaystyle c>0}

$c>0$ — масштабный множитель, который необходимо фиксировать для выбора определённой тороидальной системы координат, 0⩽α<∞,−π<β⩽π,−π<φ⩽π{displaystyle 0leqslant alpha <infty ,-pi <beta leqslant pi ,-pi <varphi leqslant pi } ${displaystyle 0leqslant alpha <infty ,-pi <beta leqslant pi ,-pi <varphi leqslant pi }$ .

Свойства

Координатные поверхности

α=const{displaystyle alpha =mathrm {const} }

${displaystyle alpha =mathrm {const} }$ — торы

(x2+y2−ccthα)2+z2=(cshα)2{displaystyle ({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c,mathrm {cth} ,alpha )^{2}+z^{2}=left({frac {c}{mathrm {sh} ,alpha }}right)^{2}}

{displaystyle ({sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c,mathrm {cth} ,alpha )^{2}+z^{2}=left({frac {c}{mathrm {sh} ,alpha }}right)^{2}}

β=const{displaystyle beta =mathrm {const} }

${displaystyle beta =mathrm {const} }$ — сферы

(z−ccthβ)2+x2+y2=(csin⁡β)2{displaystyle (z-c,mathrm {cth} ,beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=left({frac {c}{sin beta }}right)^{2}}

{displaystyle (z-c,mathrm {cth} ,beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=left({frac {c}{sin beta }}right)^{2}}

φ=const{displaystyle varphi =mathrm {const} }

${displaystyle varphi =mathrm {const} }$ — полуплоскости

xcos⁡φ=ysin⁡φ{displaystyle {frac {x}{cos varphi }}={frac {y}{sin varphi }}}

{displaystyle {frac {x}{cos varphi }}={frac {y}{sin varphi }}}

Дифференциальные характеристики

Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:

gij=(c2(chα−cos⁡β)2000c2(chα−cos⁡β)2000c2sh2α(chα−cos⁡β)2),gij=((chα−cos⁡β)2c2000(chα−cos⁡β)2c2000(chα−cos⁡β)2c2sh2α).{displaystyle g_{ij}={begin{pmatrix}{frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}&0&0&{frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}&0&0&{frac {c^{2}mathrm {sh} ^{2}alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}end{pmatrix}},quad g^{ij}={begin{pmatrix}{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0&{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0&{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2},mathrm {sh} ^{2},alpha }}end{pmatrix}}.}

{displaystyle g_{ij}={begin{pmatrix}{frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}&0&0�&{frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}&0�&0&{frac {c^{2}mathrm {sh} ^{2}alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}end{pmatrix}},quad g^{ij}={begin{pmatrix}{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0�&{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2}}}&0�&0&{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2},mathrm {sh} ^{2},alpha }}end{pmatrix}}.}

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

Квадрат линейного элемента:

ds2=c2(chα−cos⁡β)2(dα2+dβ2+sh2αdφ2){displaystyle ds^{2}={frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}(dalpha ^{2}+dbeta ^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha ,dvarphi ^{2})}

{displaystyle ds^{2}={frac {c^{2}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}}(dalpha ^{2}+dbeta ^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha ,dvarphi ^{2})}

Квадрат элемента площади:

dS2=c4(chα−cos⁡β)4((dαdβ)2+sh2α(dαdφ)2+sh2α(dβdφ)2){displaystyle dS^{2}={frac {c^{4}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{4}}}((dalpha ,dbeta )^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha (dalpha ,dvarphi )^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha (dbeta ,dvarphi )^{2})}

{displaystyle dS^{2}={frac {c^{4}}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{4}}}((dalpha ,dbeta )^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha (dalpha ,dvarphi )^{2}+mathrm {sh} ^{2}alpha (dbeta ,dvarphi )^{2})}

Элемент объёма:

dV=c3shα(chα−cos⁡β)3dαdβdφ{displaystyle dV={frac {c^{3}mathrm {sh} ,alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}}dalpha ,dbeta ,dvarphi }

{displaystyle dV={frac {c^{3}mathrm {sh} ,alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}}dalpha ,dbeta ,dvarphi }

Коэффициенты Ламе:

hα=hβ=cchα−cos⁡β,hφ=cshαchα−cos⁡β{displaystyle h_{alpha }=h_{beta }={frac {c}{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }},quad h_{varphi }={frac {c,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}}

{displaystyle h_{alpha }=h_{beta }={frac {c}{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }},quad h_{varphi }={frac {c,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}}

Якобиан:

∂(x,y,z)∂(α,β,φ)=c3shα(chα−cos⁡β)3{displaystyle {frac {partial (x,y,z)}{partial (alpha ,beta ,varphi )}}={frac {c^{3}mathrm {sh} ,alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}}}

{displaystyle {frac {partial (x,y,z)}{partial (alpha ,beta ,varphi )}}={frac {c^{3}mathrm {sh} ,alpha }{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}}}

Символы Кристоффеля второго рода:

Γij1=(0−sin⁡βchα−cos⁡β0−sin⁡βchα−cos⁡βshαchα−cos⁡β000shα(chαcos⁡β−1)chα−cos⁡β),{displaystyle Gamma _{ij}^{1}={begin{pmatrix}0&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0&0&{frac {mathrm {sh} ,alpha (mathrm {ch} ,alpha cos beta -1)}{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}end{pmatrix}},}

{displaystyle Gamma _{ij}^{1}={begin{pmatrix}0&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0�&0&{frac {mathrm {sh} ,alpha (mathrm {ch} ,alpha cos beta -1)}{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}end{pmatrix}},}

Γij2=(sin⁡βchα−cos⁡β−shαchα−cos⁡β0−shαchα−cos⁡β0000sh2αsin⁡βchα−cos⁡β),{displaystyle Gamma _{ij}^{2}={begin{pmatrix}{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&-{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0-{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0&0&0&{frac {mathrm {sh} ^{2}alpha sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}end{pmatrix}},}

{displaystyle Gamma _{ij}^{2}={begin{pmatrix}{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&-{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0-{frac {mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0&0�&0&{frac {mathrm {sh} ^{2}alpha sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}end{pmatrix}},}

Γij3=(00−1(chα−cos⁡β)sh2α00−sin⁡βchα−cos⁡β−1(chα−cos⁡β)sh2α−sin⁡βchα−cos⁡β0).{displaystyle Gamma _{ij}^{3}={begin{pmatrix}0&0&-{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )mathrm {sh} ^{2}alpha }}&0&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}-{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )mathrm {sh} ^{2}alpha }}&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0end{pmatrix}}.}

{displaystyle Gamma _{ij}^{3}={begin{pmatrix}0&0&-{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )mathrm {sh} ^{2}alpha }}�&0&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}-{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )mathrm {sh} ^{2}alpha }}&-{frac {sin beta }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}&0end{pmatrix}}.}

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

gradU(α,β,φ)=chα−cos⁡βc(∂U∂αe→α+∂U∂βe→β+1shα∂U∂φe→φ).{displaystyle operatorname {grad} ,U(alpha ,;beta ,;varphi )={frac {mathrm {ch} ,alpha -cos beta }{c}}left({frac {partial U}{partial alpha }}{vec {e}}_{alpha }+{frac {partial U}{partial beta }}{vec {e}}_{beta }+{frac {1}{mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial U}{partial varphi }}{vec {e}}_{varphi }right).}

{displaystyle operatorname {grad} ,U(alpha ,;beta ,;varphi )={frac {mathrm {ch} ,alpha -cos beta }{c}}left({frac {partial U}{partial alpha }}{vec {e}}_{alpha }+{frac {partial U}{partial beta }}{vec {e}}_{beta }+{frac {1}{mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial U}{partial varphi }}{vec {e}}_{varphi }right).}

Дивергенция векторного поля:

div⁡F=(chα−cos⁡β)2c2shα(∂Fα∂α+∂Fβ∂β+shα∂Fφ∂φ)−(chα−cos⁡β)(Fαshα−Fβcos⁡β)c2shα{displaystyle operatorname {div} mathbf {F} ={frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}left({frac {partial F_{alpha }}{partial alpha }}+{frac {partial F_{beta }}{partial beta }}+,mathrm {sh} ,alpha {frac {partial F_{varphi }}{partial varphi }}right)-{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )(F_{alpha },mathrm {sh} ,alpha -F_{beta }cos beta )}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}}

{displaystyle operatorname {div} mathbf {F} ={frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{2}}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}left({frac {partial F_{alpha }}{partial alpha }}+{frac {partial F_{beta }}{partial beta }}+,mathrm {sh} ,alpha {frac {partial F_{varphi }}{partial varphi }}right)-{frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )(F_{alpha },mathrm {sh} ,alpha -F_{beta }cos beta )}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}}

Оператор Лапласа:

Δu=(chα−cos⁡β)3c2shα(∂∂α(shαchα−cos⁡β∂u∂α)+∂∂β(shαchα−cos⁡β∂u∂β)+1(chα−cos⁡β)shα∂2u∂φ2){displaystyle Delta u={frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}left({frac {partial }{partial alpha }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial alpha }}right)+{frac {partial }{partial beta }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial beta }}right)+{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta ),mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial ^{2}u}{partial varphi ^{2}}}right)}

{displaystyle Delta u={frac {(mathrm {ch} ,alpha -cos beta )^{3}}{c^{2},mathrm {sh} ,alpha }}left({frac {partial }{partial alpha }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial alpha }}right)+{frac {partial }{partial beta }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial beta }}right)+{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta ),mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial ^{2}u}{partial varphi ^{2}}}right)}

Дифференциальные уравнения

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

(∂∂α(shαchα−cos⁡β∂u∂α)+∂∂β(shαchα−cos⁡β∂u∂β)+1(chα−cos⁡β)shα∂2u∂φ2)=0{displaystyle left({frac {partial }{partial alpha }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial alpha }}right)+{frac {partial }{partial beta }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial beta }}right)+{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta ),mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial ^{2}u}{partial varphi ^{2}}}right)=0}

{displaystyle left({frac {partial }{partial alpha }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial alpha }}right)+{frac {partial }{partial beta }}left({frac {,mathrm {sh} ,alpha }{mathrm {ch} ,alpha -cos beta }}{frac {partial u}{partial beta }}right)+{frac {1}{(mathrm {ch} ,alpha -cos beta ),mathrm {sh} ,alpha }}{frac {partial ^{2}u}{partial varphi ^{2}}}right)=0}

Литература

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Часть IV. Формулы, таблицы, графики. IV. Различные ортогональные системы координат // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 732-733. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1.
Морс Ф. М., Фешбах Г. Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Таблица разделяющих координат для трёх измерений // Методы теоретической физики. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. — Т. 1. — С. 622. — 930 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.