Символы Кристоффеля

Разделы:

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900),

Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации.

Символы Кристоффеля появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Содержание

1 Элементарное понятие о символах Кристоффеля
2 Символы Кристоффеля первого и второго рода
3 Выражение через метрический тензор
4 Связь с безындексными обозначениями
5 Замена координат
6 Символы Кристоффеля в различных системах координат
7 См. также
8 Литература
9 Ссылки

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можнополучить на примере полярной системы координат.В этой системе координатами точки являются расстояниеr{displaystyle {r}}

${r}$ от неё до полюса и угол φ{displaystyle varphi } $varphi$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат,следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: (dr,dφ){displaystyle ({rm {d}}r,,{rm {d}}varphi )}

$({rm d} r,,{rm d}varphi)$ .

Пусть есть вектор A{displaystyle {boldsymbol {A}}}

$boldsymbol A$ с координатами (a,α){displaystyle (a,,alpha )} $(a,,alpha)$ ,где a{displaystyle a} $a$ имеет геометрический смысл проекции вектора A{displaystyle {boldsymbol {A}}} $boldsymbol A$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора),а α{displaystyle alpha } $alpha$ — угол, под которым вектор виден из полюса.

В прямоугольной системе координаткомпоненты вектора не меняются при параллельном переносе.В полярной системе координат это не так (см. рисунки).Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонентвектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального лучана расстояние dr{displaystyle {rm {d}}r}

${rm d}r$ ,его компонента a{displaystyle a} $a$ , очевидно, не меняется, но вторая его координата(α{displaystyle alpha } $alpha$ ) уменьшается (рис. 1).Величина вектора |A|2=a2+r2α2{displaystyle |A|^{2}=a^{2}+r^{2}alpha ^{2}} $|A|^2= a^2 + r^2alpha^2$ остаётся неизменной,поэтому a2+(r+dr)2(α+dα)2=a2+r2α2{displaystyle a^{2}+(r+{rm {d}}r)^{2}(alpha +{rm {d}}alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}alpha ^{2}} $a^2 + (r+{rm d}r)^2(alpha+{rm d}alpha)^2 =a^2 + r^2alpha^2$ .Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большегопорядков малости):dα=−1rαdr.{displaystyle {rm {d}}alpha =-{frac {1}{r}},alpha ,{rm {d}}r.} ${rm d}alpha=-frac{1}{r},alpha,{rm d}r.$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обекоординаты a{displaystyle a}

$a$ и α{displaystyle alpha } $alpha$ (рис. 2).Очевидно, α=Arsin⁡λ{displaystyle alpha ={frac {A}{r}}sin lambda } $alpha = frac{A}{r}sinlambda$ , a=Acos⁡λ{displaystyle a=Acos lambda } $a=Acoslambda$ ,и dλ=−dφ{displaystyle {rm {d}}lambda =-{rm {d}}varphi } ${rm d}lambda = -{rm d}varphi$ поэтому:dα=−1radφ.{displaystyle {rm {d}}alpha =-{frac {1}{r}},a,{rm {d}}varphi .} ${rm d}alpha=-frac{1}{r},a,{rm d}varphi.$

Кроме этого, так как a=Acos⁡λ{displaystyle a=Acos lambda }

$a=Acoslambda$ , dλ=−dφ{displaystyle {rm {d}}lambda =-{rm {d}}varphi } ${rm d}lambda = -{rm d}varphi$ ,и Asin⁡λ=rα{displaystyle Asin lambda =ralpha } $Asinlambda=ralpha$ , тоda=−(−r)αdφ.{displaystyle {rm {d}}a=-(-r),alpha ,{rm {d}}varphi .} ${rm d}a=-(-r),alpha,{rm d}varphi.$

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и r{displaystyle r}

$r$ , и φ{displaystyle varphi } $varphi$ )изменения компонент надо складывать:da=−(−r)αdφ.{displaystyle {rm {d}}a=-(-r),alpha ,{rm {d}}varphi .} ${rm d}a=-(-r),alpha,{rm d}varphi.$ dα=−1rαdr−1radφ.{displaystyle {rm {d}}alpha =-{frac {1}{r}},alpha ,{rm {d}}r-{frac {1}{r}},a,{rm {d}}varphi .} ${rm d}alpha=-frac{1}{r},alpha,{rm d}r-frac{1}{r},a,{rm d}varphi.$

Полученные выраженияимеют общую структуру: изменение компонент векторапропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора.Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначенияхx1=r{displaystyle x^{1}=r}

$x^1=r$ , x2=φ{displaystyle x^{2}=varphi } $x^2=varphi$ , A1=a{displaystyle {A^{1}=a}} ${A^1=a}$ и A2=α{displaystyle A^{2}=alpha } $A^2=alpha$ можно записать (имея ввиду сумму по повторяющимся индексам):dAi=−ΓkliAkdxl.{displaystyle {rm {d}}A^{i}=-Gamma _{kl}^{i}A^{k}{rm {d}}x^{l}.} ${rm d}A^i=-Gamma^{i}_{kl}A^k {rm d}x^l.$

Здесь символы Кристоффеля Γ221=−r{displaystyle {Gamma _{22}^{1}=-r}}

${Gamma^1_{22}=-r}$ , Γ122=Γ212=1/r{displaystyle Gamma _{12}^{2}=Gamma _{21}^{2}=1/r} $Gamma^2_{12}=Gamma^2_{21}=1/r$ ,а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координатвсе символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты векторане изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод,что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либосистеме координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода Γijk{displaystyle Gamma _{ij}^{k}}

$Gamma^{k}_{ij}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ∂i=∂∂xi{displaystyle partial _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}} $partial_i=frac{partial }{partial x^i}$ по базису:

∇∂j∂i=Γijk∂k{displaystyle nabla _{partial _{j}}partial _{i}=Gamma _{ij}^{k}partial _{k}}

nabla_{partial_j}partial_i = Gamma^{k}_{ij}partial_k

Символы Кристоффеля первого рода Γn,ij{displaystyle Gamma _{n,ij}^{}}

$Gamma^{}_{n,ij}$

Γn,ij=gknΓijk=12(∂gin∂xj+∂gjn∂xi−∂gij∂xn){displaystyle Gamma _{n,ij}=g_{kn}Gamma _{ij}^{k}={tfrac {1}{2}}left({frac {partial g_{in}}{partial x^{j}}}+{frac {partial g_{jn}}{partial x^{i}}}-{frac {partial g_{ij}}{partial x^{n}}}right)}

Gamma_{n,ij}=g_{kn}Gamma^{k}_{ij}=tfrac12left(frac{partial g_{in}}{partial x^j} + frac{partial g_{jn}}{partial x^i} - frac{partial g_{ij}}{partial x^n}right)

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты xi{displaystyle x^{i}}

$x^i$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть:

Γijk=Γikj{displaystyle Gamma ^{i}{}_{jk}=Gamma ^{i}{}_{kj}}

Gamma^i {}_{jk}=Gamma^i {}_{kj}

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора gik {displaystyle g_{ik} }

$g_{ik}$ равна нулю:

∇ℓgik=∂gik∂xℓ−gmkΓmiℓ−gimΓmkℓ=0{displaystyle nabla _{ell }g_{ik}={frac {partial g_{ik}}{partial x^{ell }}}-g_{mk}Gamma ^{m}{}_{iell }-g_{im}Gamma ^{m}{}_{kell }=0}

nabla_ell g_{ik}=frac{partial g_{ik}}{partial x^ell}- g_{mk}Gamma^m {}_{iell} - g_{im}Gamma^m {}_{kell}=0

Для сокращения записи символ набла ∇{displaystyle nabla }

$nabla$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «, » в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как:

gik;ℓ=gik,ℓ−gmkΓmiℓ−gimΓmkℓ=0{displaystyle ,g_{ik;ell }=g_{ik,ell }-g_{mk}Gamma ^{m}{}_{iell }-g_{im}Gamma ^{m}{}_{kell }=0}

,g_{ik;ell} = g_{ik,ell} - g_{mk} Gamma^m {}_{iell} - g_{im} Gamma^m {}_{kell} = 0

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

Γikℓ=12gim(∂gmk∂xℓ+∂gmℓ∂xk−∂gkℓ∂xm)=12gim(gmk,ℓ+gmℓ,k−gkℓ,m){displaystyle Gamma ^{i}{}_{kell }={frac {1}{2}}g^{im}left({frac {partial g_{mk}}{partial x^{ell }}}+{frac {partial g_{mell }}{partial x^{k}}}-{frac {partial g_{kell }}{partial x^{m}}}right)={1 over 2}g^{im}(g_{mk,ell }+g_{mell ,k}-g_{kell ,m})}

Gamma^i {}_{kell}= frac{1}{2}g^{im} left( frac{partial g_{mk}}{partial x^ell} + frac{partial g_{mell}}{partial x^k} - frac{partial g_{kell}}{partial x^m} right) = {1 over 2} g^{im} (g_{mk,ell} + g_{mell,k} - g_{kell,m})

где gij {displaystyle g^{ij} }

$g^{ij}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к gij {displaystyle g_{ij} } $g_{ij}$ , находится путём решения системы линейных уравнений gijgjk=δki {displaystyle g^{ij}g_{jk}=delta _{k}^{i} } $g^{ij}g_{jk}=delta^i_k$ .

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами Xi {displaystyle X^{i} }

$X^i$ и Yk {displaystyle Y^{k} } $Y^k$ . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

(∇XY)k=Xi∇iYk=Xi(∂Yk∂xi+ΓkimYm). {displaystyle left(nabla _{X}Yright)^{k}=X^{i}nabla _{i}Y^{k}=X^{i}left({frac {partial Y^{k}}{partial x^{i}}}+Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}right). }

left(nabla_X Yright)^k = X^i nabla_i Y^k = X^i left(frac{partial Y^k}{partial x^i} + Gamma^k {}_{im} Y^mright).

Условие отсутствия кручения у связности, :∇XY−∇YX=[X,Y] {displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,Y] }

$nabla_X Y - nabla_Y X = [X,Y]$ , эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

Γijk=Γikj.{displaystyle Gamma ^{i}{}_{jk}=Gamma ^{i}{}_{kj}.}

Gamma^i {}_{jk}=Gamma^i {}_{kj}.

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных (x1,…,xn) {displaystyle (x^{1},…,x^{n}) }

$(x^1,...,x^n)$ на (y1,…,yn) {displaystyle (y^{1},…,y^{n}) } $(y^1,...,y^n)$ , базисные векторы преобразуются ковариантно,

∂∂yi=∂xk∂yi∂∂xk {displaystyle {frac {partial }{partial y^{i}}}={frac {partial x^{k}}{partial y^{i}}}{frac {partial }{partial x^{k}}} }

frac{partial}{partial y^i} = frac{partial x^k}{partial y^i}frac{partial}{partial x^k}

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

Γkij¯=∂xp∂yi∂xq∂yjΓrpq∂yk∂xr+∂yk∂xm∂2xm∂yi∂yj {displaystyle {overline {Gamma ^{k}{}_{ij}}}={frac {partial x^{p}}{partial y^{i}}},{frac {partial x^{q}}{partial y^{j}}},Gamma ^{r}{}_{pq},{frac {partial y^{k}}{partial x^{r}}}+{frac {partial y^{k}}{partial x^{m}}},{frac {partial ^{2}x^{m}}{partial y^{i}partial y^{j}}} }

overline{Gamma^k {}_{ij}} = frac{partial x^p}{partial y^i}, frac{partial x^q}{partial y^j}, Gamma^r {}_{pq}, frac{partial y^k}{partial x^r} + frac{partial y^k}{partial x^m}, frac{partial^2 x^m}{partial y^i partial y^j}

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) Hβ{displaystyle H_{beta }}

$H_beta$ , а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

Γββ,γ=−HβHγ∂Hβ∂xγ{displaystyle Gamma _{beta beta ,gamma }=-{H_{beta }}{H_{gamma }}{frac {partial H_{beta }}{partial x^{gamma }}}}

Gamma_{betabeta,gamma}=-{H_beta}{H_gamma}frac{partial H_beta}{partial x^gamma}

, при β≠γ{displaystyle beta neq gamma }

betaneqgamma

Γβγ,β=Hβ∂Hβ∂xγ{displaystyle Gamma _{beta gamma ,beta }={H_{beta }}{frac {partial H_{beta }}{partial x^{gamma }}}}

Gamma_{betagamma,beta}={H_beta}frac{partial H_beta}{partial x^gamma}

Символы Кристоффеля второго рода:

Γββγ=−HβHγ2∂Hβ∂xγ{displaystyle Gamma _{beta beta }^{gamma }=-{frac {H_{beta }}{H_{gamma }^{2}}}{frac {partial H_{beta }}{partial x^{gamma }}}}

Gamma^gamma_{betabeta}=-frac{H_beta}{H_gamma^2}frac{partial H_beta}{partial x^gamma}