Символ Леви-Чивиты

Разделы:

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}} $varepsilon_{ijk}$ . Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

Абсолютно антисимметричный единичный тензор
Полностью антисимметричный единичный тензор
Абсолютно кососимметричный объект
Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).
Кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга)

Table of Contents

Определение

Изображение символа Леви-Чивиты.

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

εijk={+1P(i,j,k)=+1−1P(i,j,k)=−10i=j,j=k,k=i{displaystyle varepsilon _{ijk}={begin{cases}+1&P(i,j,k)=+1-1&P(i,j,k)=-1&i=j,,j=k,,k=iend{cases}}}

{displaystyle varepsilon _{ijk}={begin{cases}+1&P(i,j,k)=+1-1&P(i,j,k)=-1�&i=j,,j=k,,k=iend{cases}}}

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}

$varepsilon _{{ijk}}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на

εijk={+gP(i,j,k)=+1−gP(i,j,k)=−10i=j,j=k,k=i{displaystyle varepsilon _{ijk}={begin{cases}+{sqrt {g}}&P(i,j,k)=+1-{sqrt {g}}&P(i,j,k)=-1&i=j,,j=k,,k=iend{cases}}}

{displaystyle varepsilon _{ijk}={begin{cases}+{sqrt {g}}&P(i,j,k)=+1-{sqrt {g}}&P(i,j,k)=-1�&i=j,,j=k,,k=iend{cases}}}

Для компонент εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}

$varepsilon _{{ijk}}$ в левом базисе также берутся противоположные числа.

где g{displaystyle g}

$g$ — определитель матрицы метрического тензора gij{displaystyle g_{ij}} $g_{{ij}}$ , представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.

Такой набор компонент εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}

$varepsilon_{ijk}$ представляет тензор (точнее — псевдотензор).

При этом, конечно, εijk{displaystyle varepsilon ^{ijk}}

$varepsilon ^{{ijk}}$ ,будет таким же, но с заменой g{displaystyle {sqrt {g}}} ${sqrt {g}}$ на 1/g{displaystyle 1/{sqrt {g}}} $1/{sqrt {g}}$ .

εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}}

$varepsilon_{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

εijk=[e→ie→je→k]{displaystyle varepsilon _{ijk}=left[{vec {e}}_{i}{vec {e}}_{j}{vec {e}}_{k}right]}

varepsilon _{{ijk}}=left[{vec {e}}_{i}{vec {e}}_{j}{vec {e}}_{k}right]

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении.Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис {ei→}{displaystyle {{vec {e_{i}}}}}

${{vec {e_{i}}}}$ . Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя g {displaystyle {sqrt {g}} } ${sqrt {g}}$ в любых базисах (т.е. таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в нашем определении для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на g {displaystyle {sqrt {g}} } ${sqrt {g}}$ объект (совпадающий с εijk{displaystyle varepsilon _{ijk}} $varepsilon_{ijk}$ в нашем определении и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объема. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности).

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

V=εijkaibjck{displaystyle V=varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}

V=varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора a→{displaystyle {vec {a}}}

${vec {a}}$ , b→{displaystyle {vec {b}}} ${vec {b}}$ и c→{displaystyle {vec {c}}} ${vec {c}}$

Векторное произведение двух векторов

Si=εijkajbk{displaystyle S_{i}=varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}

S_{i}=varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы a→{displaystyle {vec {a}}}

${vec {a}}$ и b→{displaystyle {vec {b}}} ${vec {b}}$ , представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать ε{displaystyle varepsilon }

$varepsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

V=εijkmaibjckdm,{displaystyle V=varepsilon _{ijkm}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},}

V=varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

Si=εijkmajbkcm.{displaystyle S_{i}=varepsilon _{ijkm}a^{j}b^{k}c^{m}.}

S_{i}=varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Свойства

Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис):

|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|=∑i,j,k=13εijkaibjck.{displaystyle {begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}b_{1}&b_{2}&b_{3}c_{1}&c_{2}&c_{3}end{vmatrix}}=sum _{i,j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.} ${begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}b_{1}&b_{2}&b_{3}c_{1}&c_{2}&c_{3}end{vmatrix}}=sum _{i,j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

a→×b→=∑i,j,k=13εijke→ iajbk=c→{displaystyle {vec {a}}times {vec {b}}=sum _{i,j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}{vec {e}}^{ i}a^{j}b^{k}={vec {c}}} ${vec {a}}times {vec {b}}=sum _{{i,j,k=1}}^{3}varepsilon _{{ijk}}{vec {e}}^{{ i}}a^{j}b^{k}={vec {c}}$ , где ci=∑j,k=13εijkajbk{displaystyle c_{i}=sum _{j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}} $c_{i}=sum _{{j,k=1}}^{3}varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ — его компоненты, а e→ i{displaystyle {vec {e}}^{ i}} ${vec {e}}^{{ i}}$ — векторы базиса.
Смешанное произведение векторов тоже:

[a→b→c→]=∑i,j,k=13εijkaibjck.{displaystyle left[{vec {a}}{vec {b}}{vec {c}}right]=sum _{i,j,k=1}^{3}varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.} $left[{vec {a}}{vec {b}}{vec {c}}right]=sum _{{i,j,k=1}}^{3}varepsilon _{{ijk}}a^{i}b^{j}c^{k}.$
В следующей формуле δ{displaystyle delta } $delta$ обозначает символ Кронекера:

εijkεlmn=|δilδimδinδjlδjmδjnδklδkmδkn|.{displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon ^{lmn}={begin{vmatrix}delta _{i}^{l}&delta _{i}^{m}&delta _{i}^{n}delta _{j}^{l}&delta _{j}^{m}&delta _{j}^{n}delta _{k}^{l}&delta _{k}^{m}&delta _{k}^{n}end{vmatrix}}.} $varepsilon _{{ijk}}varepsilon ^{{lmn}}={begin{vmatrix}delta _{i}^{l}&delta _{i}^{m}&delta _{i}^{n}delta _{j}^{l}&delta _{j}^{m}&delta _{j}^{n}delta _{k}^{l}&delta _{k}^{m}&delta _{k}^{n}end{vmatrix}}.$

(при суммировании по общему индексу)

∑i=13εijkεimn=δjmδkn−δjnδkm{displaystyle sum _{i=1}^{3}varepsilon _{ijk}varepsilon _{imn}=delta _{jm}delta _{kn}-delta _{jn}delta _{km}} $sum _{{i=1}}^{3}varepsilon _{{ijk}}varepsilon _{{imn}}=delta _{{jm}}delta _{{kn}}-delta _{{jn}}delta _{{km}}$

В случае двух общих индексов i,j{displaystyle i,;j} $i,;j$ тензор сворачивается следующим образом:

∑i=13∑j=13εijkεijn=2δkn{displaystyle sum _{i=1}^{3}sum _{j=1}^{3}varepsilon _{ijk}varepsilon _{ijn}=2delta _{kn}} $sum _{{i=1}}^{3}sum _{{j=1}}^{3}varepsilon _{{ijk}}varepsilon _{{ijn}}=2delta _{{kn}}$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

εijkℓ…={ {displaystyle varepsilon _{ijkell dots }=left{{begin{matrix}~~~end{matrix}}right.} $varepsilon _{{ijkell dots }}=left{{begin{matrix}~~~end{matrix}}right.$	+g,{displaystyle +{sqrt {g}},} $+{sqrt {g}},$ если (i,j,k,ℓ,…){displaystyle (i,j,k,ell ,dots )} $(i,j,k,ell ,dots )$ есть чётная перестановка набора (1,2,3,4,…);{displaystyle (1,2,3,4,dots );;} $(1,2,3,4,dots );;$
	−g,{displaystyle -{sqrt {g}},} $-{sqrt {g}},$ если (i,j,k,ℓ,…){displaystyle (i,j,k,ell ,dots )} $(i,j,k,ell ,dots )$ есть нечётная перестановка набора (1,2,3,4,…);{displaystyle (1,2,3,4,dots );;} $(1,2,3,4,dots );;$
	0{displaystyle 0} ${displaystyle 0}$ , если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики g=det{gij}{displaystyle {sqrt {g}}={sqrt {det{g_{ij}}}}}

${sqrt {g}}={sqrt {det{g_{{ij}}}}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль.(Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что g<0{displaystyle g<0} $g<0$ , вместо него как правило берут −g{displaystyle -g} $-g$ , чтобы g{displaystyle {sqrt {g}}} ${sqrt {g}}$ получался вещественным.

Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, det{gij}=0{displaystyle det{g_{ij}}=0} $det{g_{{ij}}}=0$ или det{gij}=0{displaystyle det{g^{ij}}=0} $det{g^{{ij}}}=0$ .

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

∑i,j,k,⋯=1nεijk…εijk…=n!{displaystyle sum _{i,j,k,dots =1}^{n}varepsilon _{ijkdots }varepsilon ^{ijkdots }=n!} $sum _{{i,j,k,dots =1}}^{n}varepsilon _{{ijkdots }}varepsilon ^{{ijkdots }}=n!$

— что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

εijk…εpqr…=det|δipδiqδir…δjpδjqδjr…δkpδkqδkr…⋮⋮⋮⋱|.{displaystyle varepsilon _{ijkdots }varepsilon ^{pqrdots }=det {begin{vmatrix}delta _{i}^{p}&delta _{i}^{q}&delta _{i}^{r}&dots delta _{j}^{p}&delta _{j}^{q}&delta _{j}^{r}&dots delta _{k}^{p}&delta _{k}^{q}&delta _{k}^{r}&dots vdots &vdots &vdots &ddots end{vmatrix}}.} $varepsilon _{{ijkdots }}varepsilon ^{{pqrdots }}=det {begin{vmatrix}delta _{i}^{p}&delta _{i}^{q}&delta _{i}^{r}&dots delta _{j}^{p}&delta _{j}^{q}&delta _{j}^{r}&dots delta _{k}^{p}&delta _{k}^{q}&delta _{k}^{r}&dots vdots &vdots &vdots &ddots end{vmatrix}}.$

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

a→∨b→=∑i,j=12εijaibj{displaystyle {{vec {a}}vee {vec {b}}}=sum _{i,j=1}^{2}varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}} ${{vec a}vee {vec b}}=sum _{{i,j=1}}^{2}varepsilon _{{ij}}a^{i}b^{j}$

Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием n-мерного символа Леви-Чивиты

det A =∑i,j,k,…=1nεijk…A1iA2jA3k⋯=∑i1,i2,i3,…,in=1nεi1i2i3⋯inA1i1A2i2A3i3⋯Anin{displaystyle det A =sum _{i,j,k,ldots =1}^{n}varepsilon _{ijkldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}cdots =sum _{i_{1},i_{2},i_{3},ldots ,i_{n}=1}^{n}varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}cdots A_{ni_{n}}} $det A =sum _{{i,j,k,ldots =1}}^{n}varepsilon _{{ijkldots }}A_{{1i}}A_{{2j}}A_{{3k}}cdots =sum _{{i_{1},i_{2},i_{3},ldots ,i_{n}=1}}^{n}varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}cdots i_{n}}}A_{{1i_{1}}}A_{{2i_{2}}}A_{{3i_{3}}}cdots A_{{ni_{n}}}$

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты εijk…{displaystyle varepsilon _{ijkldots }}

$varepsilon _{{ijkldots }}$ принимают тут значения ±1.

прямое n-мерное обобщение векторного произведения (n — 1) штук (n-мерных) векторов:

p→=a→×b→×c→⋯=∑i,j,k,m,…=1nεijkm…f→iajbkcm⋯{displaystyle {vec {p}}={{vec {a}}times {vec {b}}times {vec {c}}cdots }=sum _{i,j,k,m,ldots =1}^{n}varepsilon _{ijkmldots }{vec {f}}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}cdots }

{vec {p}}={{vec a}times {vec b}times {vec c}cdots }=sum _{{i,j,k,m,ldots =1}}^{n}varepsilon _{{ijkmldots }}{vec f}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}cdots

где pi=∑j,k,m,…=1nεijkm…ajbkcm⋯{displaystyle p_{i}=sum _{j,k,m,ldots =1}^{n}varepsilon _{ijkmldots }a^{j}b^{k}c^{m}cdots }

$p_{i}=sum _{{j,k,m,ldots =1}}^{n}varepsilon _{{ijkmldots }}a^{j}b^{k}c^{m}cdots$ — его компоненты, а f→ i{displaystyle {vec {f}}^{ i}} ${vec {f}}^{{ i}}$ — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

прямое n-мерное обобщение смешанного произведения n штук (n-мерных) векторов:

[a→b→c→⋯]=∑i,j,k,…=1nεijk…aibjck⋯{displaystyle left[{vec {a}}{vec {b}}{vec {c}}cdots right]=sum _{i,j,k,ldots =1}^{n}varepsilon _{ijkldots }a^{i}b^{j}c^{k}cdots } $left[{vec {a}}{vec {b}}{vec {c}}cdots right]=sum _{{i,j,k,ldots =1}}^{n}varepsilon _{{ijkldots }}a^{i}b^{j}c^{k}cdots$

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

(∗η)i1,i2,…,in−k=1k!ηj1,…,jkεj1,…,jk,i1,…,in−k{displaystyle (*eta )_{i_{1},i_{2},ldots ,i_{n-k}}={frac {1}{k!}}eta ^{j_{1},ldots ,j_{k}}varepsilon _{j_{1},ldots ,j_{k},i_{1},ldots ,i_{n-k}}}

(*eta )_{{i_{1},i_{2},ldots ,i_{{n-k}}}}={frac {1}{k!}}eta ^{{j_{1},ldots ,j_{k}}}varepsilon _{{j_{1},ldots ,j_{k},i_{1},ldots ,i_{{n-k}}}}

(для произвольного тензора η,{displaystyle !eta ,}

$!eta ,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

Ссылки

Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).