wiki

Билинейная форма

Пусть L{displaystyle ,L} есть векторное пространство над полем K{displaystyle ,K} (чаще всего рассматриваются поля K=R{displaystyle K=mathbb {R} } и K=C{displaystyle K=mathbb {C} }).

Билинейной формой называется функция F:L×L→K{displaystyle Fcolon Ltimes Lto K}, линейная по каждому из аргументов:

 F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y){displaystyle ~F(x+z,y)=F(x,y)+F(z,y)},
 F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z){displaystyle ~F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)},
 F(λx,y)=λF(x,y){displaystyle ~F(lambda x,y)=lambda F(x,y)},
 F(x,λy)=λF(x,y){displaystyle ~F(x,lambda y)=lambda F(x,y)},

здесь x,y,z∈L{displaystyle x,y,zin L} и λ∈K.{displaystyle lambda in K.}

Содержание

Связанные определения

  • Билинейная форма (функционал)  S{displaystyle ~S}  называется симметричной, если для любых x,y∈L{displaystyle x,yin L}  выполнено  S(x,y)=S(y,x){displaystyle ~S(x,y)=S(y,x)} ,
  • билинейная форма (функционал)  A{displaystyle ~A}  называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых

x,y∈L{displaystyle x,yin L}

  выполнено  A(x,y)=−A(y,x){displaystyle ~A(x,y)=-A(y,x)} 

Свойства

  • Множество всех билинейных форм W(L,L){displaystyle W(L,L)} , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе e1,…,en{displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}}  в L{displaystyle L}  любая билинейная форма  F{displaystyle ~F}  однозначно определяется матрицей
(F(e1,e1)F(e1,e2)…F(e1,en)F(e2,e1)F(e2,e2)…F(e2,en)⋮⋮⋱⋮F(en,e1)F(en,e2)…F(en,en)),{displaystyle {begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}},} 

так что для любых векторов x=x1e1+x2e2+⋯+xnen{displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+cdots +x^{n}e_{n}}

  и y=y1e1+y2e2+⋯+ynen{displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+cdots +y^{n}e_{n}} 

F(x,y)=(x1x2…xn)(F(e1,e1)F(e1,e2)…F(e1,en)F(e2,e1)F(e2,e2)…F(e2,en)⋮⋮⋱⋮F(en,e1)F(en,e2)…F(en,en))(y1y2⋮yn),{displaystyle F(x,y)={begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&ldots &x^{n}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}F(e_{1},e_{1})&F(e_{1},e_{2})&ldots &F(e_{1},e_{n})\F(e_{2},e_{1})&F(e_{2},e_{2})&ldots &F(e_{2},e_{n})\vdots &vdots &ddots &vdots \F(e_{n},e_{1})&F(e_{n},e_{2})&ldots &F(e_{n},e_{n})end{pmatrix}}{begin{pmatrix}y^{1}\y^{2}\vdots \y^{n}end{pmatrix}},} 

то есть

 F(x,y)=∑i,j=1nxiFijyj.{displaystyle ~F(x,y)=sum _{i,j=1}^{n}x^{i}F_{ij},y^{j}.} 

Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

Таким образом, размерность пространства W(L,L){displaystyle ,W(L,L)}

  есть dim⁡W(L,L)=(dim⁡L)2{displaystyle ,dim W(L,L)=(dim L)^{2}} .

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе  
Xi{displaystyle ~X^{i}}

  выражаются через координаты в новом  xi{displaystyle ~x^{i}}  через матрицу  β{displaystyle ~beta }   Xi=∑βjixj{displaystyle ~X^{i}=sum beta _{j}^{i}x^{j}} , или в матричной записи  X=βx{displaystyle ~X=beta x} , то билинейная форма  F{displaystyle ~F}  на любых векторах  x{displaystyle ~x}  и  y{displaystyle ~y}  запишется, как

F(x,y)=∑i,jFijXiYj=∑i,j,k,mFijβkiβmjxkym{displaystyle F(x,y)=sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=sum _{i,j,k,m}F_{ij}beta _{k}^{i}beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}} ,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

fkm=∑i,jFijβkiβmj{displaystyle f_{km}=sum _{i,j}F_{ij}beta _{k}^{i}beta _{m}^{j}} ,

или, в матричной записи:

 f=βTFβ{displaystyle ~f=beta ^{T}Fbeta } ,
 β=α−1{displaystyle ~beta =alpha ^{-1}} , где  α{displaystyle ~alpha }  — матрица прямого преобразования координат  x=αX{displaystyle ~x=alpha X} .

См. также

Читайте также