Цилиндрическая система координат

• Разделы:
  • Дифференциальные характеристики
  • См. также

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z{displaystyle z}), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка в цилиндрических координатах.

Точка P{displaystyle P} даётся как (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,;varphi ,;z)}. В терминах прямоугольной системы координат:

• ρ⩾0{displaystyle rho geqslant 0} — расстояние от O{displaystyle O} до P′{displaystyle P’}, ортогональной проекции точки P{displaystyle P} на плоскость XY{displaystyle XY}. Или то же самое, что расстояние от P{displaystyle P} до оси Z{displaystyle Z}.
• 0⩽φ <360∘{displaystyle 0leqslant varphi <360^{circ }} — угол между осью X{displaystyle X} и отрезком OP′{displaystyle OP’}.
• z{displaystyle z} равна аппликате точки P{displaystyle P}.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения (ρ,φ,z){displaystyle (rho ,;varphi ,;z)}.

Некоторые математики используют (r,θ,z){displaystyle (r,;theta ,;z)}.

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z{displaystyle Z} взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x2+y2=c2{displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}, а в цилиндрических — очень простое уравнение ρ=c{displaystyle rho =c}. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Содержание

• 1 Переход к другим системам координат
  • 1.1 Декартова система координат
• 2 Дифференциальные характеристики
• 3 См. также

Переход к другим системам координат

  2 точки в цилиндрических координатах.

Основная статья: Прямоугольная система координат

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

{x=ρcos⁡φ,y=ρsin⁡φ,z=z.{displaystyle {begin{cases}x=rho cos varphi ,\y=rho sin varphi ,\z=z.end{cases}}} 

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

{ρ=x2+y2,φ=arctg(yx),z=z.{displaystyle {begin{cases}rho ={sqrt {x^{2}+y^{2}}},\varphi =mathrm {arctg} left({dfrac {y}{x}}right),\z=z.end{cases}}} 

Якобиан равен:

J=ρ.{displaystyle J=rho .} 

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

gij=(1000ρ20001),gij=(10001/ρ20001).{displaystyle g_{ij}={begin{pmatrix}1&0&0\0&rho ^{2}&0\0&0&1end{pmatrix}},quad g^{ij}={begin{pmatrix}1&0&0\0&1/rho ^{2}&0\0&0&1end{pmatrix}}.} 

• Квадрат дифференциала длины кривой

ds2=dρ2+ρ2dφ2+dz2.{displaystyle ds^{2}=drho ^{2}+rho ^{2},dvarphi ^{2}+dz^{2}.} 

• Коэффициенты Ламэ имеют вид:

Hρ=1,Hφ=ρ,Hz=1.{displaystyle H_{rho }=1,quad H_{varphi }=rho ,quad H_{z}=1.} 

• Символы Кристоффеля {r,φ,z}{displaystyle {r,;varphi ,;z}} :

Γ221=−r,Γ212=Γ122=1r.{displaystyle Gamma _{22}^{1}=-r,quad Gamma _{21}^{2}=Gamma _{12}^{2}={frac {1}{r}}.}  Остальные равны нулю.

См. также

• Углы Эйлера