Sgn

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается sgn x или sgn(x). Определяется следующим образом:

График функции y = sgn x

$\operatorname {sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

~\operatorname {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История

Функцию sgn(x) ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с sgn, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение $sgn\cdot x$ , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.

Свойства функции

Область определения: $(-\infty ;+\infty )$ .
Область значений: $~\{-1;0;+1\}$ .
Гладка во всех точках, кроме нуля.
Функция нечётна.
Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны $+1$ и $-1$ соответственно.
$|x|=\operatorname {sgn} x\cdot x$ и $x=\operatorname {sgn} x\cdot |x|$ для $\forall x\in \mathbb {R}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака.
$\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y=\operatorname {sgn}(x\cdot y)$

См. также

Функция Хевисайда

Литература

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.