sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция. Обозначается sgn x или sgn(x). Определяется следующим образом:
sgnx={ 1,x>0 0,x=0−1,x<0{displaystyle operatorname {sgn} x={begin{cases} 1,&x>0\ 0,&x=0\-1,&x<0end{cases}}}
Функция не является элементарной.
Часто используется представление
- sgnx=ddx|x|{displaystyle ~operatorname {sgn} x={frac {d}{dx}}|x|}
При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.
Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.
Содержание
История
Функцию sgn(x) ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: [x]. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с sgn, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение sgn⋅x{displaystyle sgncdot x}
, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.
, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке.Свойства функции
- Область определения: (−∞;+∞){displaystyle (-infty ;+infty )} .
- Область значений: {−1;0;+1}{displaystyle ~{-1;0;+1}} .
- Гладка во всех точках, кроме нуля.
- Функция нечётна.
- Точка x=0{displaystyle x=0} является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны +1{displaystyle +1} и −1{displaystyle -1} соответственно.
- |x|=sgnx⋅x{displaystyle |x|=operatorname {sgn} xcdot x} и x=sgnx⋅|x|{displaystyle x=operatorname {sgn} xcdot |x|} для ∀x∈R{displaystyle forall xin mathbb {R} }
- ddxsgnx=2⋅δ(x){displaystyle {frac {d}{dx}}operatorname {sgn} x=2cdot delta (x)} , где δ(x){displaystyle delta (x)} — дельта-функция Дирака.
- sgnx⋅sgny=sgn(x⋅y){displaystyle operatorname {sgn} xcdot operatorname {sgn} y=operatorname {sgn}(xcdot y)}
.
.
является 
и −1{displaystyle -1}
соответственно.
и x=sgnx⋅|x|{displaystyle x=operatorname {sgn} xcdot |x|}
для ∀x∈R{displaystyle forall xin mathbb {R} }
, где δ(x){displaystyle delta (x)}
— 
См. также
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
- Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.
| Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
