ISO 31-11

Разделы:

ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет«математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2 [1].

Эта страница или раздел содержит специальные символы Unicode.
Если у вас отсутствуют необходимые шрифты, некоторые символы могут отображаться неправильно.

Содержание

1 Математические символы
2 Стандарт ISO 80000-2
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта[2].

Математическая логика

Обозна- чение	Употребление	Название	Смысл и пояснения	Комментарии
∧	p ∧ q	конъюнкция	p и q
∨	p ∨ q	дизъюнкция	p или q (возможно, оба)
¬	¬ p	отрицание	неверно p; не-p
⇒	p ⇒ q	импликация	если p, то q; из p следует q	Иногда записывается в виде p → q или q ⇐ p.
∀	∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x)	квантор общности	для каждого x из множества A верно утверждение p(x)	Для краткости уточнение «∈A» часто опускают, если оно ясно из контекста.
∃	∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x)	квантор существования	существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно	Для краткости уточнение «∈A» часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A.

Теория множеств

Обозна- чение	Употребление	Смысл и пояснения	Комментарии
∈	x ∈ A	x принадлежит A; x является элементом множества A
∉	x ∉ A	x не принадлежит A; x не является элементом множества A	Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
∋	A ∋ x	Множество A содержит элемент x	равносильно x ∈ A
∌	A ∌ x	Множество A не содержит элемента x	равносильно x ∉ A
{ }	{x1, x2, …, xn}	множество, образованное элементами x1, x2, …, xn	также {xi ∣ i ∈ I}, где I обозначает множество индексов
{ ∣ }	{x ∈ A ∣ p(x)}	множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно	Пример: {x ∈ ℝ ∣ x > 5} Для краткости уточнение «∈A» часто опускают, если оно ясно из контекста.
card	card(A)	кардинальное число элементов множества A; мощность A
∖	A ∖ B	разность множеств A и B; A минус B	Множество элементов из A, которых нет в B. A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Не следует записывать в виде A − B.
∅		пустое множество
ℕ		множество натуральных чисел, включая ноль	ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой: ℕ* = {1, 2, 3, …} Конечное подмножество: ℕk = {0, 1, 2, 3, …, k − 1}
ℤ		множество целых чисел	ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} Целые ненулевые обозначаются ℤ* = ℤ ∖ {0} = {…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …}
ℚ		множество рациональных чисел	ℚ* = ℚ ∖ {0}
ℝ		множество вещественных чисел	ℝ* = ℝ ∖ {0}
ℂ		множество комплексных чисел	ℂ* = ℂ ∖ {0}
[,]	[a,b]	замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая)	[a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая)	]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая)	[a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая)	]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
⊆	B ⊆ A	B содержится в A; B есть подмножество A	Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: ⊂ .
⊂	B ⊂ A	B содержится в A как собственное подмножество	Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если ⊂ обозначает «содержится», то ⊊ должно использоваться в смысле «содержится как собственное подмножество».
⊈	C ⊈ A	C не содержится в A; C не является подмножеством A	Вариант: C ⊄ A
⊇	A ⊇ B	A содержит B (как подмножество)	A содержит все элементы B. Вариант: ⊃. B ⊆ A равносильно A ⊇ B.
⊃	A ⊃ B.	A содержит B как собственное подмножество.	A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле «содержит как собственное подмножество».
⊉	A ⊉ C	A не содержит C (как подмножество)	Вариант: ⊅ . A ⊉ C равносильно C ⊈ A.
∪	A ∪ B	объединение A и B	Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
⋃	⋃i=1nAi{displaystyle bigcup _{i=1}^{n}A_{i}} ${displaystyle bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$	объединение семейства множеств	⋃i=1nAi=A1∪A2∪…∪An{displaystyle bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}cup A_{2}cup ldots cup A_{n}} ${displaystyle bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}cup A_{2}cup ldots cup A_{n}}$ , множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A1, …, An. Варианты: ⋃i=1n{displaystyle bigcup {}_{i=1}^{n}} ${displaystyle bigcup {}_{i=1}^{n}}$ и ⋃i∈I{displaystyle bigcup _{iin I}} ${displaystyle bigcup _{iin I}}$ , ⋃i∈I{displaystyle bigcup {}_{iin I}} ${displaystyle bigcup {}_{iin I}}$ , где I — множество индексов.
∩	A ∩ B	пересечение A и B	Множество элементов, принадлежащих как A, так и B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	⋂i=1nAi{displaystyle bigcap _{i=1}^{n}A_{i}} ${displaystyle bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$	пересечение семейства множеств	⋂i=1nAi=A1∩A2∩…∩An{displaystyle bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}cap A_{2}cap ldots cap A_{n}} ${displaystyle bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}cap A_{2}cap ldots cap A_{n}}$ , множество элементов, принадлежащих каждому A1, …, An. Варианты: ⋂i=1n{displaystyle bigcap {}_{i=1}^{n}} ${displaystyle bigcap {}_{i=1}^{n}}$ и ⋂i∈I{displaystyle bigcap _{iin I}} ${displaystyle bigcap _{iin I}}$ , ⋂i∈I{displaystyle bigcap {}_{iin I}} ${displaystyle bigcap {}_{iin I}}$ , где I — множество индексов.
∁	∁AB	разность A и B	Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается , если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB = A ∖ B.
(,)	(a, b)	упорядоченная пара a, b	(a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Вариант записи: ⟨a, b⟩.
(,…,)	(a1, a2, …, an)	упорядоченный n-кортеж	Вариант записи: ⟨a1, a2, …, an⟩ (угловые скобки).
×	A × B	декартово произведение множеств A и B	Множество упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A обозначается An, где n — число сомножителей.
Δ	ΔA	множество пар (a, a) ∈ A × A, где a ∈ A; то есть диагональ множества A × A	ΔA = { (a, a) ∣ a ∈ A } Вариант записи: idA.

Прочие символы

Обозначение		Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
HTML	TeX	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
≝	=def{displaystyle {stackrel {mathrm {def} }{=}}} ${displaystyle {stackrel {mathrm {def} }{=}}}$	a ≝ b	a равно b по определению[2]	Вариант записи: a := b
=	={displaystyle =} $=$	a = b	a равно b	Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
≠	≠{displaystyle neq } $neq$	a ≠ b	a не равно b	Вариант записи: a≢b{displaystyle anot equiv b} ${displaystyle anot equiv b}$ указывает, что a не тождественно равно b.
≙	=∧{displaystyle {stackrel {wedge }{=}}} ${displaystyle {stackrel {wedge }{=}}}$	a ≙ b	a соответствует b	Пример: на карте масштаба 1:106 1 см ≙ 10 км.
≈	≈{displaystyle approx } $approx$	a ≈ b	a приблизительно равно b	Символ ≃ означает «асимптотически равно».
∼ ∝	∼∝{displaystyle {begin{matrix}sim \propto end{matrix}}} ${displaystyle {begin{matrix}sim \propto end{matrix}}}$	a ∼ b a ∝ b	a пропорционально b
<	<{displaystyle <} $<$	a < b	a меньше, чем b
>	>{displaystyle >} $>$	a > b	a больше, чем b
≤	⩽{displaystyle leqslant } $leqslant$	a ⩽{displaystyle leqslant } $leqslant$ b	a меньше или равно b	Вариант: ≦.
≥	⩾{displaystyle geqslant } $geqslant$	a ⩾{displaystyle geqslant } $geqslant$ b	a больше или равно b	Вариант: ≧.
≪	≪{displaystyle ll } $ll$	a ≪ b	a намного меньше, чем b
≫	≫{displaystyle gg } $gg$	a ≫ b	a намного больше, чем b
∞	∞{displaystyle infty } $infty$		бесконечность
() [] {} <>{displaystyle <>} $<>$	()[]{}⟨⟩{displaystyle {begin{matrix}()\{[]}\{}\langle rangle end{matrix}}} ${displaystyle {begin{matrix}()\{[]}\{}\langle rangle end{matrix}}}$	(a+b)c[a+b]c{a+b}c⟨a+b⟩c{displaystyle {begin{matrix}{(a+b)c}\{[a+b]c}\{{a+b}c}\{langle a+brangle c}end{matrix}}} ${displaystyle {begin{matrix}{(a+b)c}\{[a+b]c}\{{a+b}c}\{langle a+brangle c}end{matrix}}}$	ac+bc{displaystyle ac+bc} ${displaystyle ac+bc}$ , скобки ac+bc{displaystyle ac+bc} ${displaystyle ac+bc}$ , квадратные скобки ac+bc{displaystyle ac+bc} ${displaystyle ac+bc}$ , фигурные скобки ac+bc{displaystyle ac+bc} ${displaystyle ac+bc}$ , угловые скобки	В алгебре приоритет разных скобок (),[],{},⟨⟩{displaystyle (),[],{},langle rangle } ${displaystyle (),[],{},langle rangle }$ не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления (),[],{},⟨⟩{displaystyle (),[],{},langle rangle } ${displaystyle (),[],{},langle rangle }$ .
∥	‖{displaystyle \|} $\|$	AB ∥ CD	прямая AB параллельна прямой CD
⊥	⊥{displaystyle perp } $perp$	AB⊥CD{displaystyle mathrm {ABperp CD} } ${displaystyle mathrm {ABperp CD} }$	прямая AB перпендикулярна прямой CD

Операции

Обозначение	Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
+	a + b	a плюс b
−	a − b	a минус b
±	a ± b	a плюс-минус b
∓	a ∓ b	a минус-плюс b	−(a ± b) = −a ∓ b
…	…	…	…
⋮

Функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
f:D→C{displaystyle f:Drightarrow C} ${displaystyle f:Drightarrow C}$	функция f определена на D и принимает значения в C	Используется дл я явного указания областей определения и значения для функции.
f(S){displaystyle fleft(Sright)} ${displaystyle fleft(Sright)}$	{f(x)∣x∈S}{displaystyle left{fleft(xright)mid xin Sright}} ${displaystyle left{fleft(xright)mid xin Sright}}$	Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.
⋮

Показательная и логарифмическая функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
e	основание натуральных логарифмов	e = 2,71828…
ex	показательная функция с основанием e
loga⁡x{displaystyle log _{a}x} $log _{a}x$	логарифм с основанием a{displaystyle a} $a$
lb x	двоичный логарифм (с основанием 2)	lb x = log2⁡x{displaystyle log _{2}x} ${displaystyle log _{2}x}$
ln x	натуральный логарифм (с основанием e)	ln x =loge⁡x{displaystyle log _{e}x} ${displaystyle log _{e}x}$
lg x	десятичный логарифм (с основанием 10)	lg x = log1⁡0x{displaystyle log _{1}0x} ${displaystyle log _{1}0x}$
…	…	…
⋮

Круговые и гиперболические функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
π{displaystyle pi } $pi$	отношение длины окружностb к её диаметру	π{displaystyle pi } $pi$ = 3,14159…
…	…	…
⋮

Комплексные числа

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
i j	мнимая единица; i2=−1{displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$	в электротехнике вместо i{displaystyle i} $i$ используется символ j{displaystyle j} $j$ .
Re z	ве щественная часть z	z = x + i y, где x = Re z и y = Im z
Im z	мнимая часть z	z = x + i y, где x = Re z и y = Im z
∣z∣	абсолютная величина z; модуль z	Иногда обозначается mod z
arg z	аргумент z; фаза z	r=eiφ{displaystyle r=e^{ivarphi }} ${displaystyle r=e^{ivarphi }}$ , где r = ∣z∣, φ = arg z, При этом Re z = r cos φ, Im z = r sin φ
z*	(комплексно-) сопряжённое к z число	Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z	sgn z	sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) для z ≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
A	матрица A	…
…	…	…
⋮

Системы координат

Координаты	Радиус-вектор точки	Название системы координат	Комментарии
x, y, z	[xyz]=[xyz];{displaystyle [xyz]=[xyz];} ${displaystyle [xyz]=[xyz];}$	прямоугольная система координат (декартова)	x1, x2, x3 для координат и e1, e2, e3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. ex, ey, ez образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k.
ρ, φ, z	[x,y,z]=[ρcos⁡(ϕ),ρsin⁡(ϕ),z]{displaystyle [x,y,z]=[rho cos(phi ),rho sin(phi ),z]} ${displaystyle [x,y,z]=[rho cos(phi ),rho sin(phi ),z]}$	цилиндрическая система координат	eρ(φ), eφ(φ), ez образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то ρ и φ — полярные координаты.
r, θ, φ	[x,y,z]=r[sin⁡(θ)cos⁡(ϕ),sin⁡(θ)sin⁡(ϕ),cos⁡(θ)]{displaystyle [x,y,z]=r[sin(theta )cos(phi ),sin(theta )sin(phi ),cos(theta )]} ${displaystyle [x,y,z]=r[sin(theta )cos(phi ),sin(theta )sin(phi ),cos(theta )]}$	сферическая система координат	er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
a a→{displaystyle {vec {a}}} $vec a$	вектор a	векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, чёрточкой или стрелкой над буквой и др. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka.
…	…	…
⋮

Специальные функции

Пример	Смысл и пояснения	Комментарии
Ji(x){displaystyle J_{i}(x)} ${displaystyle J_{i}(x)}$	цилиндрические функции Бесселя (первого рода)	…
…	…	…
⋮

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём появились новые разделы (всего их стало 19):

Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
Элементарная геометрия (Elementary geometry).
Комбинаторика (Combinatorics).
Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также

Примечания

↑ ISO 80000-2.
↑ 1 2 Thompson, Ambler. Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing / Ambler Thompson, Barry M Taylor. — Gaithersburg, MD, USA : Национальный институт стандартов и технологий, March 2008.

Ссылки

ISO 80000-2:2009 (неопр.). Международная организация по стандартизации. Дата обращения: 12 августа 2019.