Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

для векторной функции имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 4861 день] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.[источник не указан 4861 день]

  • Часто используются следующие обозначения якобиана:
или
  • Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).

Смысл и применение определителя Якоби

Если функции   определяют преобразование координат  , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов [1] «элементарных параллелепипедов», натянутых на   и на   при равенстве произведений  .

Основные применения

  1. Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
  2. Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
  3. Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат   преобразуется как
 
 
(формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примечания

  1. Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

Ссылки

Применение в физике