для векторной функции имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ).
Такжеякобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 4861 день] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.[источник не указан 4861 день]
Часто используются следующие обозначения якобиана:
или
Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).
Если функции определяют преобразование координат , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов [1] «элементарных параллелепипедов», натянутых на и на при равенстве произведений .
Основные применения
Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат преобразуется как