Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$

для векторной функции ${\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}$ имеющей в некоторой точке ${\displaystyle x}$ все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.^{[источник не указан 4861 день]} По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.^{[источник не указан 4861 день]}

• Часто используются следующие обозначения якобиана:

${\displaystyle {\frac {D(u_{1},\dots ,u_{m})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial (u_{1},\dots ,u_{m})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}$

• Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).