Якобиан

• Разделы:
  • Примечания
  • Ссылки

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

det(∂u1∂x1(x)∂u1∂x2(x)⋯∂u1∂xn(x)∂u2∂x1(x)∂u2∂x2(x)⋯∂u2∂xn(x)⋯⋯⋯⋯∂um∂x1(x)∂um∂x2(x)⋯∂um∂xn(x)){displaystyle det {begin{pmatrix}{partial u_{1} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{1} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{1} over partial x_{n}}(x)\{partial u_{2} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{2} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{2} over partial x_{n}}(x)\cdots &cdots &cdots &cdots \{partial u_{m} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{m} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{m} over partial x_{n}}(x)end{pmatrix}}}

для векторной функции u:Rn→Rm,u=(u1,…,um),ui=ui(x1,…,xn),i=1,…,m,{displaystyle mathbf {u} :mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m},mathbf {u} =(u_{1},ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},ldots ,x_{n}),i=1,ldots ,m,} имеющей в некоторой точке x{displaystyle x} все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций u1,…,un{displaystyle u_{1},ldots ,u_{n}}).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 4861 день] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.[источник не указан 4861 день]

• Часто используются следующие обозначения якобиана:

D(u1,…,um)D(x1,…,xn){displaystyle {frac {D(u_{1},dots ,u_{m})}{D(x_{1},dots ,x_{n})}}} или ∂(u1,…,um)∂(x1,…,xn){displaystyle {frac {partial (u_{1},dots ,u_{m})}{partial (x_{1},dots ,x_{n})}}}

• Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).

Содержание

• 1 Смысл и применение определителя Якоби
  • 1.1 Основные применения
• 2 Примечания
• 3 Ссылки
  • 3.1 Применение в физике

Смысл и применение определителя Якоби

Если функции x~1(x1,…,xn),…,x~n(x1,…,xn){displaystyle {tilde {x}}_{1}(x_{1},dots ,x_{n}),ldots ,{tilde {x}}_{n}(x_{1},dots ,x_{n})}

  определяют преобразование координат xi→x~j{displaystyle x_{i}rightarrow {tilde {x}}_{j}} , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов [1] «элементарных параллелепипедов», натянутых на dx~1,dx~2,…,dx~n{displaystyle d{tilde {x}}_{1},d{tilde {x}}_{2},dots ,d{tilde {x}}_{n}}  и на dx1,dx2,…,dxn{displaystyle dx_{1},dx_{2},dots ,dx_{n}}  при равенстве произведений dx~1dx~2,…,dx~n=dx1dx2,…,dxn{displaystyle d{tilde {x}}_{1}d{tilde {x}}_{2},dots ,d{tilde {x}}_{n}=dx_{1}dx_{2},dots ,dx_{n}} .

Основные применения

1. Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
2. Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
3. Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат x~j→xi{displaystyle {tilde {x}}_{j}rightarrow x_{i}}  преобразуется как

∫Ω~f(x~1,x~2,…,x~n)dx~1dx~2…dx~n={displaystyle int limits _{tilde {Omega }}f({tilde {x}}_{1},{tilde {x}}_{2},dots ,{tilde {x}}_{n})d{tilde {x}}_{1}d{tilde {x}}_{2}dots d{tilde {x}}_{n}=} 

=∫Ωf(x~1(x1,x2,…,xn),x~2(x1,x2,…,xn),…,x~n(x1,x2,…,xn))|D(x~1,x~2,…,x~n)D(x1,x2,…,xn)|dx1dx2…dxn{displaystyle =int limits _{Omega }f({tilde {x}}_{1}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),{tilde {x}}_{2}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),dots ,{tilde {x}}_{n}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})){bigg |}{frac {D({tilde {x}}_{1},{tilde {x}}_{2},dots ,{tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})}}{bigg |}dx_{1}dx_{2}dots dx_{n}} 

(формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примечания

1. ↑ Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

Ссылки

Применение в физике

• Техника Якобиана

• Вывод формулы Майера с применением техники Якобиана