Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты ${\displaystyle (\mu ,\;\nu )}$  обычно определяются по правилу:

${\displaystyle x=a\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu ;}$ 

${\displaystyle y=a\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \nu ,}$ 

где ${\displaystyle \mu \geqslant 0}$ , ${\displaystyle \nu \in [0,\;2\pi )}$ .

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$ 

показывает, что линии уровня ${\displaystyle \mu }$  являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1}$ 

показывает, что линии уровня ${\displaystyle \nu }$  являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат ${\displaystyle (\mu ,\;\nu )}$  равны

${\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.}$ 

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

${\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}).}$ 

Элемент площади равен:

${\displaystyle dS=a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,}$ 

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}$ 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$ :

${\displaystyle \sigma =\mathrm {ch} \,\mu ,}$ 

${\displaystyle \tau =\cos \nu .}$ 

Таким образом, линии уровня ${\displaystyle \sigma }$  являются эллипсами, а линии уровня ${\displaystyle \tau }$  являются гиперболами. При этом

${\displaystyle \tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.}$ 

Координаты ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$  имеют простую связь с расстояниями до фокусов ${\displaystyle F_{1}}$  и ${\displaystyle F_{2}}$ . Для любой точки на плоскости

${\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma ,}$ 

${\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau ,}$ 

где ${\displaystyle d_{1},\;d_{2}}$  — расстояния до фокусов ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$  соответственно. Таким образом:

${\displaystyle d_{1}=a(\sigma +\tau );}$ 

${\displaystyle d_{2}=a(\sigma -\tau ).}$ 

Напомним, что ${\displaystyle F_{1}}$  и ${\displaystyle F_{2}}$  находятся в точках ${\displaystyle x=-a}$  и ${\displaystyle x=+a}$  соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты.

${\displaystyle x=a\sigma \tau ;}$ 

${\displaystyle y^{2}=a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2}).}$ 

Коэффициенты Ламэ

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$  равны:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}};}$ 

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}$ 

Элемент площади равен

${\displaystyle dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$ 

а лапласиан равен

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}$ 

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.