Эллиптическая кривая

Древнейшим дошедшим до нашего времени источником, в котором рассматриваются кубические кривые, является «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта. В этой работе ставится задача найти рациональные и нетривиальные решения уравнения ${\displaystyle y(6-y)=x^{3}-x}$ . Диофант решает эту задачу при помощи подстановки ${\displaystyle x=3y-1}$ .

В 1670-х годах Ньютон, используя приемы аналитической геометрии, делает попытку классифицировать кубические кривые. В ходе исследований Ньютон заметил, что решение Диофанта состоит, по существу, в пересечении кривой, заданной уравнением ${\displaystyle y(6-y)=x^{3}-x}$  с касательной ${\displaystyle x=3y-1}$ . Открытие Ньютона, в конечном итоге, привело к формулам сложения точек на эллиптической кривой. В XIX веке эллиптические кривые находят применение^{[уточнить]} в теории эллиптических функций, которые, в свою очередь, тесно связаны с эллиптическими интегралами. Таким образом, исторически термин «эллиптическая кривая» происходит от термина «эллиптический интеграл»^[3].

Если характеристика поля ${\displaystyle K}$  (${\displaystyle \mathrm {char} \,K}$ ) не равна 2 или 3, то уравнение с помощью замены координат приводится к канонической форме (форме Вейерштрасса):

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ .

Если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=3}$ , то каноническим видом уравнения является вид:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$ .

Если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K=2}$ , то уравнение приводится к одному из видов:

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+ax+b}$  — суперсингулярные кривые^[en]

или

${\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b}$  — несуперсингулярные кривые^[4].

Формальное определение эллиптической кривой требует некоторых знаний в алгебраической геометрии, но некоторые свойства эллиптических кривых над действительными числами можно описать, используя только знания алгебры и геометрии старших классов школы.

Поскольку характеристика поля действительных чисел — 0, а не 2 или 3, то эллиптическая кривая — плоская кривая, определяемая уравнением вида:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ ,

где ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  — действительные числа. Этот вид уравнений называется уравнениями Вейерштрасса.

Определение эллиптической кривой также требует, чтобы кривая не имела особых точек. Геометрически это значит, что график не должен иметь каспов и самопересечений. Алгебраически, достаточно проверить, что дискриминант

${\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})}$ ^[4]

не равен нулю.

Если кривая не имеет особых точек, то её график имеет две связные компоненты, если дискриминант положителен, и одну — если отрицателен. Например, для графиков выше в первом случае дискриминант равен 64, а во втором он равен −368.

Групповой закон

Добавлением «точки в бесконечности» получается проективный вариант этой кривой^[5]. Если ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$  — две точки на кривой, то возможно единственным образом описать третью точку — точку пересечения данной кривой с прямой, проведённой через ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$ . Если прямая является касательной к кривой в точке, то такая точка считается дважды. Если прямая параллельна оси ординат, третьей точкой будет точка в бесконечности.

Таким образом, можно ввести групповую операцию «+» на кривой со следующими свойствами: точка в бесконечности (обозначаемая символом ${\displaystyle O}$ ) является нейтральным элементом группы; и если прямая пересекает данную кривую в точках ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$  и ${\displaystyle R^{'}}$ , то ${\displaystyle P+Q+R^{'}=O}$  в группе. Суммой точек ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$  называется точка ${\displaystyle R=P+Q}$ , которая симметрична точке ${\displaystyle R^{'}}$  относительно оси ${\displaystyle Ox}$ . Можно показать, что относительно введённой таким образом операции лежащие на кривой точки и точка ${\displaystyle O}$  образуют абелеву группу; в частности, свойство ассоциативности операции «+» можно доказать, используя теорему о 9 точках на кубике^[6].

Данная группа может быть описана и алгебраически. Пусть дана кривая ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$  над полем ${\displaystyle K}$  (характеристика которого не равна ни 2, ни 3), и точки ${\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}$  и ${\displaystyle Q=(x_{Q},y_{Q})}$  на кривой, допустим, что ${\displaystyle x_{P}\neq x_{Q}}$ . Пусть ${\displaystyle \textstyle s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}}$ ; так как K — поле, то s строго определено. Тогда мы можем определить ${\displaystyle R=P+Q=(x_{R},y_{R})}$  следующим образом:

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$ ,

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})}$ .

Если ${\displaystyle x_{P}=x_{Q}}$ , то есть два варианта: если ${\displaystyle y_{P}=-y_{Q}}$ , то сумма определена как 0; значит, обратную точку к любой точке на кривой можно найти, отразив её относительно оси ${\displaystyle Ox}$ . Если ${\displaystyle y_{P}=y_{Q}\neq 0}$ , то ${\displaystyle R=P+P=2P=(x_{R},y_{R})}$  определяется так:

${\displaystyle \textstyle s={\frac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}}}$ ,

${\displaystyle x_{R}=s^{2}-2x_{P}}$ ,

${\displaystyle y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})}$ .

Если ${\displaystyle y_{P}=y_{Q}=0}$ , то ${\displaystyle P+P=O}$ .

Обратный элемент к точке ${\displaystyle P}$ , обозначаемый ${\displaystyle -P}$  и такой, что ${\displaystyle P+(-P)=0}$ , в рассмотренной выше группе определятся так:

• Если координата ${\displaystyle y_{P}}$  точки ${\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}$  не равна ${\displaystyle 0}$ , то ${\displaystyle -P=(x_{P},-y_{P})}$ .
• Если ${\displaystyle y_{P}=0}$ , то ${\displaystyle -P=P=(x_{P},y_{P})}$ .
• Если ${\displaystyle P=O}$  — точка на бесконечности, то и ${\displaystyle -P=O}$ ^[7].

Точка ${\displaystyle Q=nP}$ , где ${\displaystyle n}$  целое, определяется (при ${\displaystyle n>0}$ ) как ${\displaystyle Q=\underbrace {P+P\dots +P} _{n}}$ . Если ${\displaystyle n<0}$ , то ${\displaystyle Q}$  есть обратный элемент к ${\displaystyle |n|P}$ . Если ${\displaystyle n=0}$ , то ${\displaystyle Q=0\cdot P=O}$ . Для примера покажем как найти точку ${\displaystyle Q=4P}$ : она представляется как ${\displaystyle 4P=2P+2P}$ , а точка ${\displaystyle 2P}$  находится по формуле ${\displaystyle 2P=P+P}$ ^[8].

Формулировка эллиптических кривых как вложения тора в комплексную проективную плоскость естественным образом следует из свойства эллиптических функций Вейерштрасса, согласно которому они и их первые производные связаны формулой:

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ ,

где ${\displaystyle g_{2}}$  и ${\displaystyle g_{3}}$  — константы; ${\displaystyle \wp (z)}$  — эллиптическая функция Вейерштрасса, а ${\displaystyle \wp '(z)}$  — её производная. Функции Вейерштрасса дважды периодичны, то есть периодичны относительно решётки^[en]${\displaystyle \Lambda }$ , и следовательно определены на торе ${\displaystyle T=\mathbb {C} /\Lambda }$ . Этот тор может быть вложен в комплексную проективную плоскость отображением:

${\displaystyle z\to (1,\wp (z),\wp '(z))}$ .

Это отображение — изоморфизм групп, позволяющий перенести естественную структуру группы тора на кривую в проективной плоскости. Кроме того, это изоморфизм римановых поверхностей, то есть топологически данную эллиптическую кривую можно рассматривать как тор. Если решётка ${\displaystyle \Lambda }$  связана с решёткой ${\displaystyle c\Lambda }$  умножением на ненулевое комплексное число ${\displaystyle c}$ , то соответствующие кривые изоморфны. Классы изоморфизма эллиптических кривых определены j-инвариантом^[en].

Классы изоморфизма можно рассмотреть более простым образом. Константы ${\displaystyle g_{2}}$  и ${\displaystyle g_{3}}$ , называемые модулярными инвариантами, однозначно определяются решёткой, то есть структурой тора. С другой стороны, уравнение эллиптической кривой можно записать как

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$ .

Можно показать, что

${\displaystyle g_{2}={\frac {4^{1/3}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)}$ 

и

${\displaystyle g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)}$ ,

так что модулярный дискриминант^[en] равен:

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}$ .

Здесь ${\displaystyle \lambda }$  иногда называют модулярной лямбда-функцией^[en][9].

Если коэффициенты уравнения эллиптической кривой ${\displaystyle E}$  рациональны, то можно рассматривать множество рациональных точек на такой кривой (включая ${\displaystyle O}$ ). Это множество образует подгруппу группы действительных точек (включая ${\displaystyle O}$ ) на кривой ${\displaystyle E}$  с таким же групповым законом сложения точек на кривой. Это можно показать следующим образом: рассмотрим алгебраическую формулу получения координаты суммы двух точек ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$ , лежащих на кривой ${\displaystyle E}$ . Если эти точки и коэффициенты уравнения кривой рациональны, то координаты точки ${\displaystyle R=P+Q}$  тоже будут рациональны, так как ${\displaystyle x_{R}}$  и ${\displaystyle y_{Q}}$  являются рациональными функциями от коэффициентов кривой ${\displaystyle E}$  координат точек ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$ ^[10].

Порядком точки ${\displaystyle P}$  на кривой ${\displaystyle E}$  называется наименьшее натуральное ${\displaystyle k}$  такое, что ${\displaystyle kP=O}$ .

Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел справедлива теорема Морделла^[en]: на эллиптической кривой ${\displaystyle E}$  существует такое конечное множество рациональных точек бесконечного порядка ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}}$ , что любая точка на эллиптической кривой представляется в виде:

${\displaystyle P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+...+a_{n}P_{n}+Q}$ ,

где ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$  — целые числа, однозначно определенные для точки ${\displaystyle P}$ , а ${\displaystyle Q}$  — точка кручения, являющаяся точкой конечного порядка.^[11]. Другими словами, теорема гласит, что если поле ${\displaystyle K}$  — поле рациональных чисел, то группа ${\displaystyle K}$ -рациональных точек — конечнопорождённая. Это означает, что группа может быть представлена как прямая сумма свободной абелевой группы и конечной подгруппы кручения^[12].

Рангом эллиптической кривой ${\displaystyle E}$  называется минимальное число рациональных точек бесконечного порядка из теоремы Морделла. Нет общего алгоритма для вычисления ранга свободной подгруппы и, соответственно, ранга эллиптической кривой. Формула для вычисления ранга даётся в гипотезе Бёрча и Свиннертона-Дайера. На 2014 год эллиптическая кривая с максимальным точно известным рангом выглядит так:

y² + xy + y = x³ − x² + 31368015812338065133318565292206590792820353345x + 302038802698566087335643188429543498624522041683

Её ранг равен 19, она была найдена Ноамом Элкисом^[en]* в 2009 году^[13]. Про следующую кривую, найденную Элкисом в 2006 году,

y² + xy + y = x³ − x² + 20 067 762 415 575 527 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000x + 34 481 611 795 030 556 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

известно, что её ранг по крайне мере 28, однако точный ранг этой кривой неизвестен^[14]. В 2016 году было опубликовано доказательство того, что ранг этой кривой равен в точности 28, если выполнена обобщённая гипотеза Римана^[15].

Эллиптическую кривую ${\displaystyle E}$  можно определить над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ , где ${\displaystyle q=p^{r}}$ , а ${\displaystyle p}$  простое.

Точное число точек эллиптической кривой ${\displaystyle E}$  над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$  достаточно трудно вычислить, но теорема Хассе об эллиптических кривых утверждает, что:

${\displaystyle \left|\sharp E(\mathbb {F} _{q})-q-1\right|<2{\sqrt {q}}}$ ^[16].

Этот факт можно истолковать и доказать с помощью общей теории; см. Локальная дзета-функция^?!, Этальные когомологии^[en].

Число точек на конкретной кривой может быть вычислено с помощью алгоритма Шуфа^?!.

Эллиптические кривые над конечными полями используются в некоторых криптографических приложениях, для факторизации и тестирования простоты чисел. Обычно, основная идея, заложенная в этих приложениях, заключается в том, что известный алгоритм, используемый для конкретных конечных групп, переписывается для использования групп рациональных точек эллиптических кривых.

В теории чисел эллиптические кривые были, в частности, использованы Эндрю Уайлсом (совместно с Ричардом Тейлором) в доказательстве великой теоремы Ферма.

В криптографии они образуют самостоятельный раздел эллиптической криптографии, посвящённый изучению криптосистем на базе эллиптических кривых, в частности на эллиптических кривых основан российский стандарт ГОСТ Р 34.10-2001, описывающий алгоритмы формирования и проверки электронной цифровой подписи.

• Клеменс, Г. Мозаика теории комплексных кривых. — М.: Мир, 1984.
• Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии = A Course in Number Theory and Cryptography. — М.: Научное изд-во «ТВП», 2001. — С. 188—200. — 254 с. — ISBN 5-85484-014-6.
• Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 48. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5.
• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 33—37. — 312 с. — ISBN 5-8032-3325-0.
• Ленг С. Эллиптические функции = Elliptic functions. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 312. — ISBN 5-8032-3326-9.
• Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. — N. Y.: Springer, 2009. — P. 42—43,59,137—138. — 408 p. — ISBN 978-0-387-09493-9.

• 14H52 Elliptic Curves (англ.). The Mathematical Atlas. Дата обращения: 2 января 2015.
• Weisstein, Eric W. Elliptic Curves (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Николенко С. Эллиптическая криптография // Компьютерра. — 1 сентября 2006.
• Соловьёв Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.