Эллипсоидальные координаты

Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат , являющаяся обобщением двумерной эллиптической системы координат. Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка.

Основные формулы

Декартовы координаты   получаются из эллипсоидальных координат   при помощи уравнений

 
 
 

при этом на координаты накладываются ограничения

 

Поверхности с постоянной   являются эллипсоидами:

 

Поверхности с постоянной   являются однополостными гиперболоидами

 

поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной   являются двуполостными гиперболоидами

 

поскольку два последних слагаемых отрицательны.

При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.

Масштабные множители и дифференциальные операторы

Для краткости в уравнениях ниже введём функцию

 

где   может представлять любую из величин  . Используя данную функцию, можем записать масштабные множители

 
 
 

Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде

 

а лапласиан имеет вид

 
 

Другие дифференциальные операторы, такие как   и  , можно выразить в координатах   путём подстановки масштабных множителей в общие формулы для ортогональных координат.

См. также

  • Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)

Литература

  • Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.). — New York: McGraw-Hill Education, 1953. — С. 663.
  • Zwillinger D. Handbook of Integration (неопр.). — Boston, MA: Jones and Bartlett  (англ.), 1992. — С. 114. — ISBN 0-86720-293-9.
  • Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.). — New York: Springer Verlag, 1967. — С. 101—102.
  • Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.). — New York: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 176.
  • Margenau H., Murphy G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.). — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 178—180.
  • Moon P. H., Spencer D. E. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.). — corrected 2nd, 3rd print. — New York: Springer Verlag, 1988. — P. 40—44 (Table 1.10). — ISBN 0-387-02732-7.

Ссылки