Экстремум

• Разделы:
  • Замечание
  • Необходимые условия существования локальных экстремумов
  • Достаточные условия существования локальных экстремумов
  • См. также

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения).

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

• 1 Определения
• 2 Замечание
• 3 Необходимые условия существования локальных экстремумов
• 4 Достаточные условия существования локальных экстремумов
• 5 См. также

Определения

Пусть дана функция f:M⊂R→R,{displaystyle f:Msubset mathbb {R} to mathbb {R} ,}

  и x0∈M0{displaystyle x_{0}in M^{0}}  — внутренняя точка области определения f.{displaystyle f.}  Тогда

• x0{displaystyle x_{0}}  называется точкой локального максимума функции f,{displaystyle f,}  если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})}  такая, что

  ∀x∈U˙(x0)f(x)≤f(x0);{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)leq f(x_{0});} 

• x0{displaystyle x_{0}}  называется точкой локального минимума функции f,{displaystyle f,}  если существует проколотая окрестность U˙(x0){displaystyle {dot {U}}(x_{0})}  такая, что

  ∀x∈U˙(x0)f(x)≥f(x0).{displaystyle forall xin {dot {U}}(x_{0})quad f(x)geq f(x_{0}).} 

Если неравенства выше строгие, то x0{displaystyle x_{0}}

  называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• x0{displaystyle x_{0}}  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  ∀x∈Mf(x)≤f(x0);{displaystyle forall xin Mquad f(x)leq f(x_{0});} 

• x0{displaystyle x_{0}}  называется точкой абсолютного минимума, если

  ∀x∈Mf(x)≥f(x0).{displaystyle forall xin Mquad f(x)geq f(x_{0}).} 

Значение функции f(x0){displaystyle f(x_{0})}

  называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f,{displaystyle f,}

  определённая на множестве M,{displaystyle M,}  может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x)=x,x∈(−1,1).{displaystyle f(x)=x,;xin (-1,1).} 

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Кирса ван лав x0{displaystyle x_{0}}  является точкой экстремума функции  f{displaystyle ~f} , определенной в некоторой окрестности точки x0{displaystyle x_{0}} .

Тогда либо производная  f′(x0){displaystyle ~f'(x_{0})}  не существует, либо  f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0} .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция f∈C(x0){displaystyle fin C(x_{0})}  непрерывна в x0∈M0,{displaystyle x_{0}in M^{0},}  и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  f+′(x0),f−′(x0){displaystyle ~f’_{+}(x_{0}),f’_{-}(x_{0})} . Тогда при условии

f+′(x0)<0,f−′(x0)>0{displaystyle f’_{+}(x_{0})<0,;f’_{-}(x_{0})>0} 

x0{displaystyle x_{0}}

  является точкой строгого локального максимума. А если

f+′(x0)>0,f−′(x0)<0,{displaystyle f’_{+}(x_{0})>0,;f’_{-}(x_{0})<0,} 

то x0{displaystyle x_{0}}

  является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}}

• Пусть функция f{displaystyle f}  непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0{displaystyle x_{0}} . Тогда при условии

 f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0}  и  f″(x0)<0{displaystyle ~f»(x_{0})<0} 

x0{displaystyle x_{0}}

  является точкой локального максимума. А если

 f′(x0)=0{displaystyle ~f'(x_{0})=0}  и  f″(x0)>0{displaystyle ~f»(x_{0})>0} 

то x0{displaystyle x_{0}}

  является точкой локального минимума.

• Пусть функция f{displaystyle f}  дифференцируема n{displaystyle n}  раз в точке x0{displaystyle x_{0}}  и f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0{displaystyle f'(x_{0})=f»(x_{0})=dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0} , а f(n)(x0)≠0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})neq 0} .

Если n{displaystyle n}

  чётно и f(n)(x0)<0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0} , то x0{displaystyle x_{0}}  — точка локального максимума.Если n{displaystyle n}  чётно и f(n)(x0)>0{displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0} , то x0{displaystyle x_{0}}  — точка локального минимума.Если n{displaystyle n}  нечётно, то экстремума нет.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Шаблон:Экстремум