Чётность функции

• Разделы:
  • Свойства
  • Примеры
  • Литература

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn{displaystyle f(x)=x^{n}} чётна когда n{displaystyle n} чётно, и нечётна когда n{displaystyle n} нечётно.

f(x)=x{displaystyle f(x)=x} — пример нечётной функции. f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}} — пример чётной функции. f(x)=x3,{displaystyle f(x)=x^{3},} нечётная f(x)=x3+1{displaystyle f(x)=x^{3}+1} ни чётная, ни нечётная.

• Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно оси ординат).
• Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Содержание

• 1 Строгое определение
• 2 Свойства
• 3 Примеры
  • 3.1 Нечётные функции
  • 3.2 Чётные функции
• 4 Литература

Строгое определение

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X⊂R{displaystyle Xsubset mathbb {R} }

 , например, отрезка или интервала.

• Функция f:X→R{displaystyle f:Xto mathbb {R} }  называется чётной, если справедливо равенство

f(−x)=f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=f(x),quad forall xin X.} 

• Функция называется нечётной, если справедливо равенство

f(−x)=−f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=-f(x),quad forall xin X.} 

• Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат O{displaystyle O} .
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy{displaystyle Oy} .
• Произвольная функция f:[−X,X]⊂R→R{displaystyle f:[-X,X]subset mathbb {R} to mathbb {R} }  может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x)=g(x)+h(x),{displaystyle f(x)=g(x)+h(x),} 

где

g(x)=f(x)−f(−x)2,h(x)=f(x)+f(−x)2.{displaystyle g(x)={frac {f(x)-f(-x)}{2}},;h(x)={frac {f(x)+f(-x)}{2}}.} 

• Функция f(x)≡0{displaystyle f(x)equiv 0}  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
• Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:

∫−∞∞f(x)dx=2∫0∞f(x)dx=2∫−∞0f(x)dx.{displaystyle i
nt limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=2int limits _{0}^{infty }f(x);dx=2int limits _{-infty }^{0}f(x);dx.} 

Соответственно, для интегралов от нечётных функцией выполняется равенство

∫−∞∞f(x)dx=0.{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=0.} 

Примеры

Нечётные функции

• Нечётная степень f(x)=x2k+1,x∈R{displaystyle f(x)=x^{2k+1},quad xin mathbb {R} }  где k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }  — произвольное целое число.
• Синус f(x)=sin⁡x,x∈R{displaystyle f(x)=sin x,quad xin mathbb {R} } .
• Тангенс f(x)=tg⁡x,x∈(−π2;π2){displaystyle f(x)=operatorname {tg} x,quad xin (-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}})} .

Чётные функции

• Чётная степень f(x)=x2k,x∈R{displaystyle f(x)=x^{2k},quad xin mathbb {R} }  где k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }  — произвольное целое число.
• Косинус f(x)=cos⁡x,x∈R{displaystyle f(x)=cos x,quad xin mathbb {R} } .
• Абсолютная величина (модуль) f(x)=|x|{displaystyle f(x)=|x|} .

Литература

• И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. Функции и графики. Основные приемы. — М.: Наука, 1968. — (Библиотечка физико-математической школы, выпуск 2). (Перевод на англ.: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 и 1998)