Нечётными и чётными называются функции , обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа , таких как теория степенных рядов и рядов Фурье . Название связано со свойствами степенных функций: функция
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}}
чётна когда
n
{\displaystyle n}
чётно, и нечётна когда
n
{\displaystyle n}
нечётно.
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
— пример нечётной функции.
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
— пример чётной функции.
f
(
x
)
=
x
3
,
{\displaystyle f(x)=x^{3},}
нечётная
f
(
x
)
=
x
3
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{3}+1}
ни чётная, ни нечётная.
Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно центра координат).
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно оси ординат).
Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Строгое определение
Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
, например, отрезка или интервала .
Функция
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
называется чётной, если справедливо равенство
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.}
Функция называется нечётной, если справедливо равенство
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
,
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.}
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).
Свойства
График нечётной функции симметричен относительно начала координат
O
{\displaystyle O}
.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат
O
y
{\displaystyle Oy}
.
Произвольная функция
f
:
[
−
X
,
X
]
⊂
R
→
R
{\displaystyle f:[-X,X]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
h
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}
где
g
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
2
,
h
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
2
.
{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}},\;h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.}
Функция
f
(
x
)
≡
0
{\displaystyle f(x)\equiv 0}
— единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
Сумма , разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
Произведение двух функций одной чётности чётно.
Произведение двух функций разной чётности нечётно.
Композиция двух нечётных функций нечётна.
Композиция чётной функции с нечётной чётна.
Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
2
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
2
∫
−
∞
0
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx.}
Соответственно, для интегралов от нечётных функцией выполняется равенство
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0.}
Примеры
Нечётные функции
Нечётная степень
f
(
x
)
=
x
2
k
+
1
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)=x^{2k+1},\quad x\in \mathbb {R} }
где
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
— произвольное целое число .
Синус
f
(
x
)
=
sin
x
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)=\sin x,\quad x\in \mathbb {R} }
.
Тангенс
f
(
x
)
=
tg
x
,
x
∈
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x,\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})}
.Чётные функции
Чётная степень
f
(
x
)
=
x
2
k
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)=x^{2k},\quad x\in \mathbb {R} }
где
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
— произвольное целое число .
Косинус
f
(
x
)
=
cos
x
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)=\cos x,\quad x\in \mathbb {R} }
.
Абсолютная величина (модуль)
f
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle f(x)=|x|}
.
Литература