wiki

Чётность функции

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция f(x)=xn{displaystyle f(x)=x^{n}} чётна когда n{displaystyle n} чётно, и нечётна когда n{displaystyle n} нечётно.

f(x)=x{displaystyle f(x)=x} — пример нечётной функции. f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}} — пример чётной функции. f(x)=x3,{displaystyle f(x)=x^{3},} нечётная f(x)=x3+1{displaystyle f(x)=x^{3}+1} ни чётная, ни нечётная.

Содержание

Строгое определение

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения X⊂R{displaystyle Xsubset mathbb {R} }

 , например, отрезка или интервала.

  • Функция f:X→R{displaystyle f:Xto mathbb {R} }  называется чётной, если справедливо равенство
f(−x)=f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=f(x),quad forall xin X.} 
  • Функция называется нечётной, если справедливо равенство
f(−x)=−f(x),∀x∈X.{displaystyle f(-x)=-f(x),quad forall xin X.} 
  • Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства

  • График нечётной функции симметричен относительно начала координат O{displaystyle O} .
  • График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy{displaystyle Oy} .
  • Произвольная функция f:[−X,X]⊂R→R{displaystyle f:[-X,X]subset mathbb {R} to mathbb {R} }  может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x)=g(x)+h(x),{displaystyle f(x)=g(x)+h(x),} 
где
g(x)=f(x)−f(−x)2,h(x)=f(x)+f(−x)2.{displaystyle g(x)={frac {f(x)-f(-x)}{2}},;h(x)={frac {f(x)+f(-x)}{2}}.} 
  • Функция f(x)≡0{displaystyle f(x)equiv 0}  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
  • Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
  • Произведение двух функций одной чётности чётно.
  • Произведение двух функций разной чётности нечётно.
  • Композиция двух нечётных функций нечётна.
  • Композиция чётной функции с нечётной чётна.
  • Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
  • Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:
∫−∞∞f(x)dx=2∫0∞f(x)dx=2∫−∞0f(x)dx.{displaystyle i
nt limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=2int limits _{0}^{infty }f(x);dx=2int limits _{-infty }^{0}f(x);dx.} 
Соответственно, для интегралов от нечётных функцией выполняется равенство
∫−∞∞f(x)dx=0.{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }f(x);dx=0.} 

Примеры

Нечётные функции

  • Нечётная степень f(x)=x2k+1,x∈R{displaystyle f(x)=x^{2k+1},quad xin mathbb {R} }  где k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }  — произвольное целое число.
  • Синус f(x)=sin⁡x,x∈R{displaystyle f(x)=sin x,quad xin mathbb {R} } .
  • Тангенс f(x)=tg⁡x,x∈(−π2;π2){displaystyle f(x)=operatorname {tg} x,quad xin (-{frac {pi }{2}};{frac {pi }{2}})} .

Чётные функции

Литература

Читайте также