Чётность функции

Нечётными и чётными называются функции, обладающие симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Название связано со свойствами степенных функций: функция $f(x)=x^{n}$ чётна когда $n$ чётно, и нечётна когда $n$ нечётно.

f(x)=x

— пример нечётной функции.

f(x)=x^{2}

— пример чётной функции.

f(x)=x^{3},

нечётная

f(x)=x^{3}+1

ни чётная, ни нечётная.

Нечётная функция — функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно центра координат).
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (график ее симметричен относительно оси ординат).
Ни чётная, ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Строгое определение

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения $X\subset \mathbb {R}$ , например, отрезка или интервала.

Функция $f:X\to \mathbb {R}$ называется чётной, если справедливо равенство

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными, ни нечётными (или функциями общего вида).

Свойства

График нечётной функции симметричен относительно начала координат $O$ .
График чётной функции симметричен относительно оси ординат $Oy$ .
Произвольная функция $f:[-X,X]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x)=g(x)+h(x),

где

g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}},\;h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.

Функция $f(x)\equiv 0$ — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
Произведение двух функций одной чётности чётно.
Произведение двух функций разной чётности нечётно.
Композиция двух нечётных функций нечётна.
Композиция чётной функции с нечётной чётна.
Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
Важное соотношение для несобственных интегралов от чётных функций:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx.

Соответственно, для интегралов от нечётных функцией выполняется равенство

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0.

Примеры

Нечётные функции

Нечётная степень $f(x)=x^{2k+1},\quad x\in \mathbb {R}$ где $k\in \mathbb {Z}$ — произвольное целое число.
Синус $f(x)=\sin x,\quad x\in \mathbb {R}$ .
Тангенс $f(x)=\operatorname {tg} x,\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})$ .

Чётные функции

Чётная степень $f(x)=x^{2k},\quad x\in \mathbb {R}$ где $k\in \mathbb {Z}$ — произвольное целое число.
Косинус $f(x)=\cos x,\quad x\in \mathbb {R}$ .
Абсолютная величина (модуль) $f(x)=|x|$ .

Литература

И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. Функции и графики. Основные приемы. — М.: Наука, 1968. — (Библиотечка физико-математической школы, выпуск 2). (Перевод на англ.: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 и 1998)