Частная производная

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции $f$ определяется следующим образом:

{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{k}+\Delta x,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n})}{\Delta x}}.

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Следует обратить внимание, что обозначение ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной ${\frac {df}{dx}}$ , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$ , где $d_{x}f$ — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $\partial x$ в выражении ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$ . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции $f$ в точке ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ по координате $x_{k}$ равна производной ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}$ по направлению ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ , где единица стоит на $k$ -ом месте.

Примеры

Объем конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},

Частная производная объема V относительно радиуса r

{\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема $m^{3}$ , а измерения длины $m$ , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема $m^{3}/m$ , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$ .

Частная производная относительно h

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}

и

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.

Это дает полную производную относительно r:

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также