Частная производная

Разделы:
- См. также

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f{displaystyle f} $f$ определяется следующим образом:

∂f∂xk=limΔx→0f(x1,…,xk+Δx,…,xn)−f(x1,…,xk,…,xn)Δx.{displaystyle {frac {partial f}{partial x_{k}}}=lim _{Delta xto 0}{frac {f(x_{1},ldots ,x_{k}+Delta x,ldots ,x_{n})-f(x_{1},ldots ,x_{k},ldots ,x_{n})}{Delta x}}.}

{displaystyle {frac {partial f}{partial x_{k}}}=lim _{Delta xto 0}{frac {f(x_{1},ldots ,x_{k}+Delta x,ldots ,x_{n})-f(x_{1},ldots ,x_{k},ldots ,x_{n})}{Delta x}}.}

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz. Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Следует обратить внимание, что обозначение ∂f∂x{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}} $frac{partial f}{partial x}$ следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной dfdx{displaystyle {frac {df}{dx}}} ${frac {df}{dx}}$ , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: ∂f∂x≡dxfdx{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}equiv {frac {d_{x}f}{dx}}} ${frac {partial f}{partial x}}equiv {frac {d_{x}f}{dx}}$ , где dxf{displaystyle d_{x}f} $d_{x}f$ — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа ∂f∂x{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}} $frac{partial f}{partial x}$ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение ∂x{displaystyle partial x} $partial x$ в выражении ∂f∂x∂x∂t{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}{frac {partial x}{partial t}}} ${frac {partial f}{partial x}}{frac {partial x}{partial t}}$ . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f{displaystyle f} $f$ в точке x→0=(x10,…,xn0){displaystyle {vec {x}}{,}^{0}=(x_{1}^{0},ldots ,x_{n}^{0})} ${vec {x}}{,}^{0}=(x_{1}^{0},ldots ,x_{n}^{0})$ по координате xk{displaysty
le x_{k}} $x_k$ равна производной ∂f∂e→{displaystyle {frac {partial f}{partial {vec {e}}}}} ${frac {partial f}{partial {vec {e}}}}$ по направлению e→=e→k=(0,…,0,1,0,…,0){displaystyle {vec {e}}={vec {e}}{,}^{k}=(0,ldots ,0,1,0,ldots ,0)} ${vec {e}}={vec {e}}{,}^{k}=(0,ldots ,0,1,0,ldots ,0)$ , где единица стоит на k{displaystyle k} $k$ -ом месте.

Содержание

Примеры

Объем конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

V=πr2h3,{displaystyle V={frac {pi r^{2}h}{3}},}

V={frac {pi r^{2}h}{3}},

Частная производная объема V относительно радиуса r

∂V∂r=2πrh3,{displaystyle {frac {partial V}{partial r}}={frac {2pi rh}{3}},}

{frac {partial V}{partial r}}={frac {2pi rh}{3}},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема m3{displaystyle m^{3}}

$m^{3}$ , а измерения длины m{displaystyle m} $m$ , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема m3/m{displaystyle m^{3}/m} $m^{3}/m$ , т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на 2πrh3{displaystyle {frac {2pi rh}{3}}} ${frac {2pi rh}{3}}$ m3{displaystyle m^{3}} $m^{3}$ .

Частная производная относительно h

∂V∂h=πr23,{displaystyle {frac {partial V}{partial h}}={frac {pi r^{2}}{3}},}

{frac {partial V}{partial h}}={frac {pi r^{2}}{3}},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

d⁡Vd⁡r=2πrh3⏞∂V∂r+πr23⏞∂V∂hd⁡hd⁡r{displaystyle {frac {operatorname {d} V}{operatorname {d} r}}=overbrace {frac {2pi rh}{3}} ^{frac {partial V}{partial r}}+overbrace {frac {pi r^{2}}{3}} ^{frac {partial V}{partial h}}{frac {operatorname {d} h}{operatorname {d} r}}}

{frac {operatorname dV}{operatorname dr}}=overbrace {{frac {2pi rh}{3}}}^{{frac {partial V}{partial r}}}+overbrace {{frac {pi r^{2}}{3}}}^{{frac {partial V}{partial h}}}{frac {operatorname dh}{operatorname dr}}

d⁡Vd⁡h=πr23⏞∂V∂h+2πrh3⏞∂V∂rd⁡rd⁡h{displaystyle {frac {operatorname {d} V}{operatorname {d} h}}=overbrace {frac {pi r^{2}}{3}} ^{frac {partial V}{partial h}}+overbrace {frac {2pi rh}{3}} ^{frac {partial V}{partial r}}{frac {operatorname {d} r}{operatorname {d} h}}}

{frac {operatorname dV}{operatorname dh}}=overbrace {{frac {pi r^{2}}{3}}}^{{frac {partial V}{partial h}}}+overbrace {{frac {2pi rh}{3}}}^{{frac {partial V}{partial r}}}{frac {operatorname dr}{operatorname dh}}

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отно
шении k,

k=hr=d⁡hd⁡r.{displaystyle k={frac {h}{r}}={frac {operatorname {d} h}{operatorname {d} r}}.}

k={frac {h}{r}}={frac {operatorname dh}{operatorname dr}}.

Это дает полную производную относительно r:

d⁡Vd⁡r=2πrh3+kπr23{displaystyle {frac {operatorname {d} V}{operatorname {d} r}}={frac {2pi rh}{3}}+k{frac {pi r^{2}}{3}}}

{frac {operatorname dV}{operatorname dr}}={frac {2pi rh}{3}}+k{frac {pi r^{2}}{3}}

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

Примеры

См. также