Центральная симметрия

Центра́льной симметри́ей (иногда центра́льной инве́рсией) относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через $Z_{A}$ , в то время как обозначение $S_{A}$ можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

Формальная запись

Пусть G - оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором ${\vec {r_{A}}}$ , а преобразовываемая точка задается радиус-вектором ${\vec {x}}$ . Тогда имеет место следующая формула:
$G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}$

Связанные определения

Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.

Общие свойства

Центральная симметрия является движением (изометрией).

В n-мерном пространстве для преобразования R, заданного последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей всегда найдется такая точка A, что R - центральная симметрия относительно A. В частности - если все n плоскостей имеют общую точку, то R - центральная симметрия относительно этой точки. Кроме того:
- В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.

Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ( $H_{A}^{-1}$ ).

Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:
$Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}$

Симметрия на прямой

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A ( $R_{A}^{180}$ ). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

В трёхмерном пространстве

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией.

Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В четырёхмерном пространстве

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.

См. также