Центральная предельная теорема

Разделы:

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (15 мая 2011)

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Содержание

1 Классическая формулировка Ц.П.Т.
2 Замечания
3 Локальная Ц.П.Т.
4 Некоторые обобщения
5 См. также
6 Ссылки

Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть X1,…,Xn,…{displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots }

$X_{1},ldots ,X_{n},ldots$ есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ{displaystyle mu } $mu$ и σ2{displaystyle sigma ^{2}} $sigma ^{2}$ , соответственно. Пусть Sn=∑i=1nXi{displaystyle S_{n}=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}} $S_{n}=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}$ . Тогда

Sn−μnσn→N(0,1){displaystyle {frac {S_{n}-mu n}{sigma {sqrt {n}}}}to N(0,1)}

{frac {S_{n}-mu n}{sigma {sqrt n}}}to N(0,1)

по распределению при n→∞{displaystyle nto infty }

nto infty

где N(0,1){displaystyle N(0,1)}

$N(0,1)$ — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице.Обозначив символом X¯{displaystyle {bar {X}}} ${bar {X}}$ выборочное среднее первых n{displaystyle n} $n$ величин, то есть X¯=1n∑i=1nXi{displaystyle {bar {X}}={frac {1}{n}}sum limits _{i=1}^{n}X_{i}} ${bar {X}}={frac {1}{n}}sum limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

nX¯−μσ→N(0,1){displaystyle {sqrt {n}}{frac {{bar {X}}-mu }{sigma }}to N(0,1)}

{sqrt {n}}{frac {{bar {X}}-mu }{sigma }}to N(0,1)

по распределению при n→∞{displaystyle nto infty }

nto infty

Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.

Замечания

Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n{displaystyle n} $n$ независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N(nμ,nσ2){displaystyle N(nmu ,nsigma ^{2})} $N(nmu ,nsigma ^{2})$ . Эквивалентно, X¯{displaystyle {bar {X}}} ${bar {X}}$ имеет распределение близкое к N(μ,σ2/n){displaystyle N(mu ,sigma ^{2}/n)} $N(mu ,sigma ^{2}/n)$ .
Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Zn=Sn−μnσn{displaystyle Z_{n}={frac {S_{n}-mu n}{sigma {sqrt {n}}}}} $Z_{n}={frac {S_{n}-mu n}{sigma {sqrt {n}}}}$ , получаем FZn(x)→Φ(x),∀x∈R{displaystyle F_{Z_{n}}(x)to Phi (x),;forall xin mathbb {R} } $F_{{Z_{n}}}(x)to Phi (x),;forall xin {mathbb {R}}$ , где Φ(x){displaystyle Phi (x)} $Phi (x)$ — функция распределения стандартного нормального распределения.
Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место.

Локальная Ц.П.Т.

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин {Xi}i=1∞{displaystyle {X_{i}}_{i=1}^{infty }}

${X_{i}}_{{i=1}}^{{infty }}$ абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Zn{displaystyle Z_{n}} $Z_{n}$ также абсолютно непрерывно, и более того,

fZn(x)→12πe−x22{displaystyle f_{Z_{n}}(x)to {frac {1}{sqrt {2pi }}},e^{-{frac {x^{2}}{2}}}}

f_{{Z_{n}}}(x)to {frac {1}{{sqrt {2pi }}}},e^{{-{frac {x^{2}}{2}}}}

при n→∞{displaystyle nto infty }

nto infty

где fZn(x){displaystyle f_{Z_{n}}(x)}

$f_{{Z_{n}}}(x)$ — плотность случайной величины Zn{displaystyle Z_{n}} $Z_{n}$ , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Некоторые обобщения

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т. Линдеберга

Пусть независимые случайные величины X1,…,Xn,…{displaystyle X_{1},ldots ,X_{n},ldots }

$X_{1},ldots ,X_{n},ldots$ определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: E[Xi]=μi,D[Xi]=σi2{displaystyle mathbb {E} [X_{i}]=mu _{i},;mathrm {D} [X_{i}]=sigma _{i}^{2}} ${mathbb {E}}[X_{i}]=mu _{i},;{mathrm {D}}[X_{i}]=sigma _{i}^{2}$ . Как и прежде построим частичные суммы Sn=∑i=1nXi{displaystyle S_{n}=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}} $S_{n}=sum limits _{i=1}^{n}X_{i}$ . Тогда в частности, E[Sn]=mn=∑i=1nμi,D[Sn]=sn2=∑i=1nσi2{displaystyle mathbb {E} [S_{n}]=m_{n}=sum limits _{i=1}^{n}mu _{i},;mathrm {D} [S_{n}]=s_{n}^{2}=sum limits _{i=1}^{n}sigma _{i}^{2}} ${mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=sum limits _{{i=1}}^{n}mu _{i},;{mathrm {D}}[S_{n}]=s_{n}^{2}=sum limits _{{i=1}}^{n}sigma _{i}^{2}$ . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

∀ε>0,limn→∞∑i=1nE[(Xi−μi)2sn21{|Xi−μi|>εsn}]=0.{displaystyle forall varepsilon >0,;lim limits _{nto infty }sum limits _{i=1}^{n}mathbb {E} left[{frac {(X_{i}-mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}},mathbf {1} _{{|X_{i}-mu _{i}|>varepsilon s_{n}}}right]=0.}