Хорда (геометрия)

Хорда и расстояние до центра окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
• Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
• Наибольшая возможная хорда является диаметром.
• Наименьшая возможная хорда является точкой.
• Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
• Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Хорда и диаметр

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
• Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
• Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и радиус

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и вписанный угол

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
• Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
• Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
• Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Хорда и центральный угол

• Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга

• Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
• Из дуг, меньших полуокружности, большая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, меньших полуокружности, большая хорда стягивает большую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
• Из дуг, больших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, большая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, больших полуокружности, большая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает большую дугу.
• Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
• Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства

• При пересечении двух хорд AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): ${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}$ .
• Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

• Длина хорды равна ${\displaystyle l=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}}$ , где ${\displaystyle r}$  — радиус окружности, ${\displaystyle \alpha }$  — центральный угол, опирающийся на данную хорду (рис. 2).
• Формула, напрямую выводящаяся из теоремы Пифагора (рис. 3): ${\displaystyle \left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+d^{2}=r^{2}}$ , где ${\displaystyle l}$  — длина хорды, ${\displaystyle r}$  — радиус окружности, ${\displaystyle d}$  — расстояние от центра окружности до хорды.
• Если известны все четыре отрезка двух пересекающихся хорд, например, ${\displaystyle a_{1}=AE\,;,a_{2}=EB\,;\,b_{1}=CE\,;\,b_{2}=ED}$  (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:

${\displaystyle r={\sqrt {a_{1}a_{2}+{\frac {(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}-2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})|\cos(t)|}{4\,\sin ^{2}(t)}}}}}$  где ${\displaystyle t}$  - угол между хордами и должно выполняться ограничение ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}}$ 

• Касательная
• Секущая
• Диаметр
• Дуга окружности

• Справочник. Окружности  (неопр.). Архивировано 3 декабря 2012 года.