Функция Хевисайда

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle \theta [n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}}$ 

где ${\displaystyle n}$  — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

${\displaystyle \delta [n]=\theta [n]-\theta [n-1].}$ 

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

${\displaystyle \theta (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {th} \,kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$ 

где большему ${\displaystyle k}$  соответствует более крутой подъём функции в точке ${\displaystyle x=0}$ . Если принять ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$ , уравнение можно записать в предельной форме:

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2}}(1+\mathrm {th} \,kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$ 

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \,kx\right);}$ 

${\displaystyle \theta (x)=\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} \,kx\right).}$ 

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

${\displaystyle \theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }\,d\tau .}$ 

Значение функции в нуле часто задаётся как ${\displaystyle \theta (0)=0}$ , ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$  или ${\displaystyle \theta (0)=1}$ . ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$  — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:

${\displaystyle \theta (x)={\frac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x)={\begin{cases}0,&x<0;\\{\dfrac {1}{2}},&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}$ 

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}$ 

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):

${\displaystyle \theta (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\delta (t)\,dt}$ .

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции ${\displaystyle ~\theta (t)}$ , получим её изображение вида:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),}$ 

то есть:

${\displaystyle \theta (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega )\right)e^{i\omega t}\,d\omega }$ 

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).

• Прямоугольная функция
• Дельта-функция
• Переходная функция