Функтор (математика)

Ф́унктор — это особый тип отображений между категориями, сохраняющих структуру. Их можно рассматривать как морфизмы в «категории» категорий. Такая «категория» будет являться категорией в обычном смысле только если её объекты — малые категории, в противном случае совокупность её объектов не является классом. Стандартный способ обойти подобные теоретико-множественные трудности — аксиома универсума Гротендика.

Определение

(Ковариантный) функтор   из категории   в категорию   — это отображение между классами объектов   и множествами морфизмов между всевозможными парами объектов  ,  , такое что

  •  
  •  .

Таким образом, функтор должен сохранять структуру композиции морфизмов. Аналогичным образом определяется контравариантный функтор, как отображение, обращающее стрелки и удовлетворяющее равенству

  •  .

Формально это функтор из двойственную категории   в  .

На первый взгляд, контравариантный функтор можно также определить как функтор  . Проблема возникает при рассмотрении категории таких функторов, ввиду изоморфизма функторных категорий

 

Первый выбор определения морфизма между контравариантными функторами естественнее, так как определение для ковариантных и контравариантных функторов при этом совпадает.

Примеры

Подчеркнём, что для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах. Несложно привести примеры различных функторов, совпадающих на объектах:

  • Тождественный функтор   действует на морфизмах и объектах тождественно.
  • Антитождественный функтор   действует на объектах тождественно и обращает все стрелки.

Некоторые другие примеры:

  • Пусть   — подкатегория в категории  , то есть   и  . В таком случае определён функтор вложения  , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения подмножеств.
  • Пусть   — конкретная категория, то есть определяемая как категория множеств   с некоторой дополнительной структурой  , морфизмы которых есть сохраняющие эту структуру отображения (пример: категории групп, колец, множеств, топологических пространств). Забывающий функтор   сопоставляет объектам   категории их подлежащее множество  , а морфизмам — соответствующее отображение множеств. Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта. В топологии правый сопряжённый к   сопоставляет множеству тривиальную топологию на нём. В теории топосов и пучков забывающий функтор есть частный случай понятия функтора точек.
  • Эта конструкция обобщается на забывающие функторы  . Типична ситуация, когда категория   есть подкатегория в некоторой другой категории  , выделенная дополнительным условием. В таком случае соответствующий функтор вложения подкатегории есть забывающий функтор. Например, полные метрические пространства образуют полную подкатегорию в категории всех метрических пространств. Левый сопряжённый к забывающему функтору есть функтор пополнения. Другой пример: пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков. Левый сопряжённый к забывающему функтору из пучков в предпучки есть функтор пучковизации.
  • Функтор между предпорядками есть монотонное отображение соответствующих частично упорядоченных множеств.
  • Функтор   сопоставляет полю   его абсолютную группу Галуа  , а гомоморфизму полей — соответствующий гомоморфизм групп Галуа.

История

Функторы были впервые введены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты связываются с топологическими пространствами, а их гомоморфизмы — с непрерывными отображениями. В настоящее время функторы используются в математике повсеместно для установления связей между различными категориями. Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Р. Карнапа[1]. Согласно Карнапу, термин «функтор» относится к функциям так же, как утверждения — к свойствам[2]. С точки зрения Карнапа, функтор — это лингвистическое понятие. Для современных категорных теоретиков функтор — это особый вид функции.

Примечания

  1. Маклейн Категории для работающего математика, стр. 30
  2. Р. Карнап The Logical Syntax of Language, стр. 13-14. — Routledge & Kegan Paul, 1937.

Литература

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.