Функтор (математика)

(Ковариантный) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$  из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  в категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  — это отображение между классами объектов ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon Ob\,{\mathcal {C}}\to Ob\,{\mathcal {D}}}$  и множествами морфизмов между всевозможными парами объектов ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon \mathrm {Hom} (A,B)\to \mathrm {Hom} ({\mathcal {F}}(A),{\mathcal {F}}(B))}$ , ${\displaystyle A,B\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ , такое что

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(id_{A})=id_{{\mathcal {F}}(A)}}$ 
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)}$ .

Таким образом, функтор должен сохранять структуру композиции морфизмов. Аналогичным образом определяется контравариантный функтор, как отображение, обращающее стрелки и удовлетворяющее равенству

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)}$ .

Формально это функтор из двойственную категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$  в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ .

На первый взгляд, контравариантный функтор можно также определить как функтор ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}^{op}}$ . Проблема возникает при рассмотрении категории таких функторов, ввиду изоморфизма функторных категорий

${\displaystyle \left[{\mathcal {C}}^{op},{\mathcal {D}}\right]\simeq \left[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}^{op}\right]^{op}}$ 

Первый выбор определения морфизма между контравариантными функторами естественнее, так как определение для ковариантных и контравариантных функторов при этом совпадает.

Подчеркнём, что для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах. Несложно привести примеры различных функторов, совпадающих на объектах:

• Тождественный функтор ${\displaystyle id\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$  действует на морфизмах и объектах тождественно.
• Антитождественный функтор ${\displaystyle (.)^{op}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{op}}$  действует на объектах тождественно и обращает все стрелки.

Некоторые другие примеры:

• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  — подкатегория в категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ , то есть ${\displaystyle Ob({\mathcal {C}})\subset Ob({\mathcal {D}})}$  и ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})\subset Mor({\mathcal {D}})}$ . В таком случае определён функтор вложения ${\displaystyle I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}}$ , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения подмножеств.

• Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  — конкретная категория, то есть определяемая как категория множеств ${\displaystyle (s,\tau )}$  с некоторой дополнительной структурой ${\displaystyle \tau }$ , морфизмы которых есть сохраняющие эту структуру отображения (пример: категории групп, колец, множеств, топологических пространств). Забывающий функтор ${\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {S}}et}$  сопоставляет объектам ${\displaystyle (s,\tau )}$  категории их подлежащее множество ${\displaystyle s}$ , а морфизмам — соответствующее отображение множеств. Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта. В топологии правый сопряжённый к ${\displaystyle U}$  сопоставляет множеству тривиальную топологию на нём. В теории топосов и пучков забывающий функтор есть частный случай понятия функтора точек.

• Эта конструкция обобщается на забывающие функторы ${\displaystyle U:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ . Типична ситуация, когда категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  есть подкатегория в некоторой другой категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ , выделенная дополнительным условием. В таком случае соответствующий функтор вложения подкатегории есть забывающий функтор. Например, полные метрические пространства образуют полную подкатегорию в категории всех метрических пространств. Левый сопряжённый к забывающему функтору есть функтор пополнения. Другой пример: пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков. Левый сопряжённый к забывающему функтору из пучков в предпучки есть функтор пучковизации.

• Функтор между предпорядками есть монотонное отображение соответствующих частично упорядоченных множеств.

• Функтор ${\displaystyle Gal:{\mathcal {F}}ld^{op}\to {\mathcal {G}}rp}$  сопоставляет полю ${\displaystyle F}$  его абсолютную группу Галуа ${\displaystyle Gal({\bar {F}}/F)}$ , а гомоморфизму полей — соответствующий гомоморфизм групп Галуа.

Функторы были впервые введены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты связываются с топологическими пространствами, а их гомоморфизмы — с непрерывными отображениями. В настоящее время функторы используются в математике повсеместно для установления связей между различными категориями. Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Р. Карнапа^[1]. Согласно Карнапу, термин «функтор» относится к функциям так же, как утверждения — к свойствам^[2]. С точки зрения Карнапа, функтор — это лингвистическое понятие. Для современных категорных теоретиков функтор — это особый вид функции.

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.