Ф́унктор — это особый тип отображений между категориями, сохраняющих структуру. Их можно рассматривать как морфизмы в «категории» категорий. Такая «категория» будет являться категорией в обычном смысле только если её объекты — малые категории, в противном случае совокупность её объектов не является классом. Стандартный способ обойти подобные теоретико-множественные трудности — аксиома универсума Гротендика.
(Ковариантный) функтор из категории в категорию — это отображение между классами объектов и множествами морфизмов между всевозможными парами объектов , , такое что
Таким образом, функтор должен сохранять структуру композиции морфизмов. Аналогичным образом определяется контравариантный функтор, как отображение, обращающее стрелки и удовлетворяющее равенству
Формально это функтор из двойственную категории в .
На первый взгляд, контравариантный функтор можно также определить как функтор . Проблема возникает при рассмотрении категории таких функторов, ввиду изоморфизма функторных категорий
Первый выбор определения морфизма между контравариантными функторами естественнее, так как определение для ковариантных и контравариантных функторов при этом совпадает.
Подчеркнём, что для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах. Несложно привести примеры различных функторов, совпадающих на объектах:
Некоторые другие примеры:
Функторы были впервые введены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты связываются с топологическими пространствами, а их гомоморфизмы — с непрерывными отображениями. В настоящее время функторы используются в математике повсеместно для установления связей между различными категориями. Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Р. Карнапа[1]. Согласно Карнапу, термин «функтор» относится к функциям так же, как утверждения — к свойствам[2]. С точки зрения Карнапа, функтор — это лингвистическое понятие. Для современных категорных теоретиков функтор — это особый вид функции.
Это статья-заготовка по алгебре. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |