Функтор (математика)

Разделы:

У этого термина в программировании есть другое значение: «Функтор (программирование)». Все значения этого слова здесь.

Ф́унктор — это особый тип отображений между категориями, сохраняющих структуру. Их можно рассматривать как морфизмы в «категории» категорий. Такая «категория» будет являться категорией в обычном смысле только если её объекты — малые категории, в противном случае совокупность её объектов не является классом. Стандартный способ обойти подобные теоретико-множественные трудности — аксиома универсума Гротендика.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 История
4 Примечания
5 Литература

Определение

(Ковариантный) функтор F:C→D{displaystyle {mathcal {F}}colon {mathcal {C}}to {mathcal {D}}}

${mathcal {F}}colon {mathcal {C}}to {mathcal {D}}$ из категории C{displaystyle {mathcal {C}}} ${mathcal {C}}$ в категорию D{displaystyle {mathcal {D}}} $mathcal{D}$ — это отображение между классами объектов F:ObC→ObD{displaystyle {mathcal {F}}colon Ob,{mathcal {C}}to Ob,{mathcal {D}}} ${displaystyle {mathcal {F}}colon Ob,{mathcal {C}}to Ob,{mathcal {D}}}$ и множествами морфизмов между всевозможными парами объектов F:Hom(A,B)→Hom(F(A),F(B)){displaystyle {mathcal {F}}colon mathrm {Hom} (A,B)to mathrm {Hom} ({mathcal {F}}(A),{mathcal {F}}(B))} ${displaystyle {mathcal {F}}colon mathrm {Hom} (A,B)to mathrm {Hom} ({mathcal {F}}(A),{mathcal {F}}(B))}$ , A,B∈ObC{displaystyle A,Bin Ob,{mathcal {C}}} ${displaystyle A,Bin Ob,{mathcal {C}}}$ , такое что

F(idA)=idF(A){displaystyle {mathcal {F}}(id_{A})=id_{{mathcal {F}}(A)}} ${displaystyle {mathcal {F}}(id_{A})=id_{{mathcal {F}}(A)}}$
F(g∘f)=F(g)∘F(f){displaystyle {mathcal {F}}(gcirc f)={mathcal {F}}(g)circ {mathcal {F}}(f)} ${mathcal {F}}(gcirc f)={mathcal {F}}(g)circ {mathcal {F}}(f)$ .

Таким образом, функтор должен сохранять структуру композиции морфизмов. Аналогичным образом определяется контравариантный функтор, как отображение, обращающее стрелки и удовлетворяющее равенству

F(g∘f)=F(f)∘F(g){displaystyle {mathcal {F}}(gcirc f)={mathcal {F}}(f)circ {mathcal {F}}(g)} ${mathcal {F}}(gcirc f)={mathcal {F}}(f)circ {mathcal {F}}(g)$ .

Формально это функтор из двойственную категории Cop{displaystyle {mathcal {C}}^{op}}

${mathcal {C}}^{{op}}$ в D{displaystyle {mathcal {D}}} $mathcal{D}$ .

На первый взгляд, контравариантный функтор можно также определить как функтор C→Dop{displaystyle {mathcal {C}}to {mathcal {D}}^{op}}

${displaystyle {mathcal {C}}to {mathcal {D}}^{op}}$ . Проблема возникает при рассмотрении категории таких функторов, ввиду изоморфизма функторных категорий

[Cop,D]≃[C,Dop]op{displaystyle left[{mathcal {C}}^{op},{mathcal {D}}right]simeq left[{mathcal {C}},{mathcal {D}}^{op}right]^{op}}

{displaystyle left[{mathcal {C}}^{op},{mathcal {D}}right]simeq left[{mathcal {C}},{mathcal {D}}^{op}right]^{op}}

Первый выбор определения морфизма между контравариантными функторами естественнее, так как определение для ковариантных и контравариантных функторов при этом совпадает.

Примеры

Подчеркнём, что для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах. Несложно привести примеры различных функторов, совпадающих на объектах:

Тождественный функтор id:C→C{displaystyle idcolon {mathcal {C}}to {mathcal {C}}} ${displaystyle idcolon {mathcal {C}}to {mathcal {C}}}$ действует на морфизмах и объектах тождественно.
Антитождественный функтор (.)op:C→Cop{displaystyle (.)^{op}colon {mathcal {C}}to {mathcal {C}}^{op}} ${displaystyle (.)^{op}colon {mathcal {C}}to {mathcal {C}}^{op}}$ действует на объектах тождественно и обращает все стрелки.

Некоторые другие примеры:

Пусть C{displaystyle {mathcal {C}}} ${mathcal {C}}$ — подкатегория в категории D{displaystyle {mathcal {D}}} $mathcal{D}$ , то есть Ob(C)⊂Ob(D){displaystyle Ob({mathcal {C}})subset Ob({mathcal {D}})} ${displaystyle Ob({mathcal {C}})subset Ob({mathcal {D}})}$ и Mor(C)⊂Mor(D){displaystyle Mor({mathcal {C}})subset Mor({mathcal {D}})} ${displaystyle Mor({mathcal {C}})subset Mor({mathcal {D}})}$ . В таком случае определён функтор вложения I:C↪D{displaystyle I:{mathcal {C}}hookrightarrow {mathcal {D}}} $I:{mathcal {C}}hookrightarrow {mathcal {D}}$ , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения подмножеств.

Пусть C{displaystyle {mathcal {C}}} ${mathcal {C}}$ — конкретная категория, то есть определяемая как категория множеств (s,τ){displaystyle (s,tau )} ${displaystyle (s,tau )}$ с некоторой дополнительной структурой τ{displaystyle tau } $tau$ , морфизмы которых есть сохраняющие эту структуру отображения (пример: категории групп, колец, множеств, топологических пространств). Забывающий функтор U:C→Set{displaystyle U:{mathcal {C}}to {mathcal {S}}et} ${displaystyle U:{mathcal {C}}to {mathcal {S}}et}$ сопоставляе
т объектам (s,τ){displaystyle (s,tau )} ${displaystyle (s,tau )}$ категории их подлежащее множество s{displaystyle s} $s$ , а морфизмам — соответствующее отображение множеств. Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта. В топологии правый сопряжённый к U{displaystyle U} $U$ сопоставляет множеству тривиальную топологию на нём. В теории топосов и пучков забывающий функтор есть частный случай понятия функтора точек.

Эта конструкция обобщается на забывающие функторы U:C→D{displaystyle U:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}} ${displaystyle U:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}}$ . Типична ситуация, когда категория C{displaystyle {mathcal {C}}} ${mathcal {C}}$ есть подкатегория в некоторой другой категории D{displaystyle {mathcal {D}}} $mathcal{D}$ , выделенная дополнительным условием. В таком случае соответствующий функтор вложения подкатегории есть забывающий функтор. Например, полные метрические пространства образуют полную подкатегорию в категории всех метрических пространств. Левый сопряжённый к забывающему функтору есть функтор пополнения. Другой пример: пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков. Левый сопряжённый к забывающему функтору из пучков в предпучки есть функтор пучковизации.

Функтор между предпорядками есть монотонное отображение соответствующих частично упорядоченных множеств.

Функтор Gal:Fldop→Grp{displaystyle Gal:{mathcal {F}}ld^{op}to {mathcal {G}}rp} ${displaystyle Gal:{mathcal {F}}ld^{op}to {mathcal {G}}rp}$ сопоставляет полю F{displaystyle F} $F$ его абсолютную группу Галуа Gal(F¯/F){displaystyle Gal({bar {F}}/F)} $Gal({bar F}/F)$ , а гомоморфизму полей — соответствующий гомоморфизм групп Галуа.

История

Функторы были впервые введены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты связываются с топологическими пространствами, а их гомоморфизмы — с непрерывными отображениями. В настоящее время функторы используются в математике повсеместно для установления связей между различными категориями. Термин «функтор»
был позаимствован математиками из работ философа Р. Карнапа [1]. Согласно Карнапу, термин «функтор» относится к функциям так же, как утверждения — к свойствам[2]. С точки зрения Карнапа, функтор — это лингвистическое понятие. Для современных категорных теоретиков функтор — это особый вид функции.

Примечания

↑ Маклейн Категории для работающего математика, стр. 30
↑ Р. Карнап The Logical Syntax of Language, стр. 13-14. — Routledge & Kegan Paul, 1937.

Литература

В Викисловаре есть статья «функтор»

С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.

Это статья-заготовка по алгебре. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.