Формула конечных приращений

Разделы:
- Следствия и обобщения
- См. также

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f{displaystyle f} $f$ непрерывна на отрезке [a;b]{displaystyle [a;b]} $[a;b]$ и дифференцируема в интервале (a;b){displaystyle (a;b)} $(a;b)$ , то найдётся такая точка c∈(a;b){displaystyle cin (a;b)} $cin (a;b)$ , что

f(b)−f(a)b−a=f′(c){displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}

{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b]{displaystyle [a;b]} $[a;b]$ найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть f(t){displaystyle f(t)} $f(t)$ — расстояние точки в момент t{displaystyle t} $t$ от начального положения. Тогда f(b)−f(a){displaystyle f(b)-f(a)} $f(b)-f(a)$ есть путь, пройденный с момента t=a{displaystyle t=a} $t=a$ до момента t=b{displaystyle t=b} $t=b$ , отношение f(b)−f(a)b−a{displaystyle {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} ${frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени t∈(a,b){displaystyle tin (a,b)} $tin (a,b)$ , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Содержание

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a){displaystyle F(x)=f(x)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}

$F(x)=f(x)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ . Для нее выполнены у
словия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a){displaystyle f(a)} $f(a)$ . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c{displaystyle c} $c$ , в которой производная функции F{displaystyle F} $F$ равна нулю:

f′(c)−f(b)−f(a)b−a=0⇔f(b)−f(a)b−a=f′(c),{displaystyle f'(c)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0Leftrightarrow {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),}

f'(c)-{frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0Leftrightarrow {frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),

что и требовалось доказать.

Следствия и обобщения

Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых x{displaystyle x}

$x$ и y{displaystyle y} $y$ существует точка c{displaystyle c} $c$ , такая что f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)=0{displaystyle f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0} $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0$ .

Значит, при всех x{displaystyle x}

$x$ и y{displaystyle y} $y$ верно равенство f(y)=f(x){displaystyle f(y)=f(x)} $f(y)=f(x)$ .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ возрастает/убывает на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ тогда и только тогда, когда её производная f′(x){displaystyle f'(x)} $f'(x)$ на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ .

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция f{displaystyle f}

$f$ дифференцируема n{displaystyle n} $n$ раз в окрестности точки x{displaystyle x} $x$ , то для малых h{displaystyle h} $h$
(т.е. тех, для которых отрезок [x,x+h]{displaystyle [x,x+h]} $[x,x+h]$ лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h22+…+f(n−1)(x)hn−1(n−1)!+f(n)(x+θh)hnn!{displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f»(x){frac {h^{2}}{2}}+…+f^{(n-1)}(x){frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}+f^{(n)}(x+theta h){frac {h^{n}}{n!}}}

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){frac {h^{2}}{2}}+...+f^{{(n-1)}}(x){frac {h^{{n-1}}}{(n-1)!}}+f^{{(n)}}(x+theta h){frac {h^{{n}}}{n!}}

где θ{displaystyle theta }

$theta$ — некоторое число из интервала (0,1){displaystyle (0,1)} $(0,1)$ .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При n=1{displaystyle n=1}

$n=1$ из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Следствие 3. Если функция n{displaystyle n}

$n$ переменных f(x1,x2,…,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})} $f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})$ дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi{displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}={frac {partial ^{2}f}{partial x_{j}partial x_{i}}}} ${frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}={frac {partial ^{2}f}{partial x_{j}partial x_{i}}}$

Доказательство для n=2{displaystyle n=2}

$n=2$ . Зафиксируем значения Δx{displaystyle Delta x} $Delta x$ и Δy{displaystyle Delta y} $Delta y$ и рассмотрим разностные операторы

Δx:f(x,y)→f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx{displaystyle Delta _{x}:f(x,y)rightarrow {frac {f(x+Delta x,y)-f(x,y)}{Delta x}}}

Delta _{x}:f(x,y)rightarrow {frac {f(x+Delta x,y)-f(x,y)}{Delta x}}

и Δy:f(x,y)→f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy{displaystyle Delta _{y}:f(x,y)rightarrow {frac {f(x,y+Delta y)-f(x,y)}{Delta y}}}

Delta _{y}:f(x,y)rightarrow {frac {f(x,y+Delta y)-f(x,y)}{Delta y}}

По теореме Лагранжа существуют числа θ1,θ2∈(0,1){displaystyle theta _{1},theta _{2}in (0,1)}

$theta _{1},theta _{2}in (0,1)$ , такие что

ΔyΔxf(x,y)=Δy∂f∂x(x+θ1Δx,y)=∂∂y∂f∂x(x+θ1Δx,y+θ2Δy)→∂∂y∂f∂x(x,y){displaystyle Delta _{y}Delta _{x}f(x,y)=Delta _{y}{frac {partial f}{partial x}}(x+theta _{1}Delta x,y)={frac {partial }{partial y}}{frac {partial f}{partial x}}(x+theta _{1}Delta x,y+theta _{2}Delta y)rightarrow {frac {partial }{partial y}}{frac {partial f}{partial x}}(x,y)}

Delta _{y}Delta _{x}f(x,y)=Delta _{y}{frac {partial f}{partial x}}(x+theta _{1}Delta x,y)={frac {partial }{partial y}}{frac {partial f}{partial x}}(x+theta _{1}Delta x,y+theta _{2}Delta y)rightarrow {frac {partial }{partial y}}{frac {partial f}{partial x}}(x,y)

при (Δx,Δy)→0{displaystyle (Delta x,Delta y)rightarrow 0}

$(Delta x,Delta y)rightarrow 0$ в силу непрерывности вторых производных функции f(x,y){displaystyle f(x,y)} $f(x,y)$ .

Аналогично доказывается, что ΔxΔyf(x,y)→∂∂x∂f∂y(x,y){displaystyle Delta _{x}Delta _{y}f(x,y)rightarrow {frac {partial }{partial x}}{frac {partial f}{partial y}}(x,y)}

$Delta _{x}Delta _{y}f(x,y)rightarrow {frac {partial }{partial x}}{frac {partial f}{partial y}}(x,y)$ .

Но так как ΔyΔxf(x,y)=ΔxΔyf(x,y){displaystyle Delta _{y}Delta _{x}f(x,y)=Delta _{x}Delta _{y}f(x,y)}

$Delta _{y}Delta _{x}f(x,y)=Delta _{x}Delta _{y}f(x,y)$ , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество d2=0{displaystyle d^{2}=0}

$d^{2}=0$ для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ дифференцируема на отрезке [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: ∫abf′(x)dx=f(b)−f(a){displaystyle int limits _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)} $int limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx=f(b)-f(a)$ .

Доказательство. Пусть T{displaystyle T}

$T$ — произвольное разбиение a=x0<x1<x2<…<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b} $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков [xk−1,xk]{displaystyle [x_{k-1},x_{k}]} $[x_{{k-1}},x_{k}]$ найдём точку ξk{displaystyle xi _{k}} $xi_k$ такую, что f′(ξk)(xk−xk−1)=f(xk)−f(xk−1){displaystyle f'(xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=f(x_{k})-f(x_{k-1})} $f'(xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=f(x_{k})-f(x_{{k-1}})$ .

Суммируя эти равенства, получим: ∑k=1nf′(ξk)(xk−xk−1)=∑k=1n(f(xk)−f(xk−1))=f(b)−f(a){displaystyle sum limits _{k=1}^{n}f'(xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=sum limits _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))=f(b)-f(a)}

$sum limits _{{k=1}}^{{n}}f'(xi _{k})(x_{k}-x_{{k-1}})=sum limits _{{k=1}}^{{n}}(f(x_{k})-f(x_{{k-1}}))=f(b)-f(a)$

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла ∫abf′(x)dx{displaystyle int limits _{a}^{b}f'(x)dx}

$int limits _{{a}}^{{b}}f'(x)dx$ и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение F:Ω→Rm{displaystyle F:Omega rightarrow mathbb {R} ^{m}}

$F:Omega rightarrow {mathbb {R}}^{m}$ непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области Ω{displaystyle Omega } $Omega$ пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ . Тогда |F(y)−F(x)|≤supξ∈Ω|DF(ξ)|⋅|y−x|{displaystyle |F(y)-F(x)|leq sup limits _{xi in Omega }|DF(xi )|cdot |y-x|} $|F(y)-F(x)|leq sup limits _{{xi in Omega }}|DF(xi )|cdot |y-x|$ .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

См. также

Лагранж, Жозеф Луи
Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.