Формула конечных приращений

Для функции одной переменной:

Введем ${\displaystyle F(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$ . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны ${\displaystyle f(a)}$ . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка ${\displaystyle c}$ , в которой производная функции ${\displaystyle F}$  равна нулю:

${\displaystyle f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\Leftrightarrow {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c),}$ 

что и требовалось доказать.

Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  существует точка ${\displaystyle c}$ , такая что ${\displaystyle f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0}$ .

Значит, при всех ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  верно равенство ${\displaystyle f(y)=f(x)}$ .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция ${\displaystyle f(x)}$  возрастает/убывает на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  тогда и только тогда, когда её производная ${\displaystyle f'(x)}$  на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции ${\displaystyle f(x)}$ .

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция ${\displaystyle f}$  дифференцируема ${\displaystyle n}$  раз в окрестности точки ${\displaystyle x}$ , то для малых ${\displaystyle h}$  (т.е. тех, для которых отрезок ${\displaystyle [x,x+h]}$  лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x){\frac {h^{2}}{2}}+...+f^{(n-1)}(x){\frac {h^{n-1}}{(n-1)!}}+f^{(n)}(x+\theta h){\frac {h^{n}}{n!}}}$ 

где ${\displaystyle \theta }$  - некоторое число из интервала ${\displaystyle (0,1)}$ .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При ${\displaystyle n=1}$  из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Следствие 3. Если функция ${\displaystyle n}$  переменных ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$  дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}}$ 

Доказательство для ${\displaystyle n=2}$ . Зафиксируем значения ${\displaystyle \Delta x}$  и ${\displaystyle \Delta y}$  и рассмотрим разностные операторы

${\displaystyle \Delta _{x}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}}$  и ${\displaystyle \Delta _{y}:f(x,y)\rightarrow {\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}}$ .

По теореме Лагранжа существуют числа ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}\in (0,1)}$ , такие что

${\displaystyle \Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x+\theta _{1}\Delta x,y+\theta _{2}\Delta y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)}$ 

при ${\displaystyle (\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0}$  в силу непрерывности вторых производных функции ${\displaystyle f(x,y)}$ .

Аналогично доказывается, что ${\displaystyle \Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)\rightarrow {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}$ .

Но так как ${\displaystyle \Delta _{y}\Delta _{x}f(x,y)=\Delta _{x}\Delta _{y}f(x,y)}$ , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество ${\displaystyle d^{2}=0}$  для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция ${\displaystyle f(x)}$  дифференцируема на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$  и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)}$ .

Доказательство. Пусть ${\displaystyle T}$  - произвольное разбиение ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b}$  отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков ${\displaystyle [x_{k-1},x_{k}]}$  найдём точку ${\displaystyle \xi _{k}}$  такую, что ${\displaystyle f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=f(x_{k})-f(x_{k-1})}$ .

Суммируя эти равенства, получим: ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}f'(\xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=\sum \limits _{k=1}^{n}(f(x_{k})-f(x_{k-1}))=f(b)-f(a)}$ 

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f'(x)dx}$  и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение ${\displaystyle F:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$  непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области ${\displaystyle \Omega }$  пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Тогда ${\displaystyle |F(y)-F(x)|\leq \sup \limits _{\xi \in \Omega }|DF(\xi )|\cdot |y-x|}$ .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Лагранж, Жозеф Луи
• Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.