Формула Муавра

Разделы:

Формула Муавра для комплексных чисел z=r(cos⁡φ+isin⁡φ) {displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi ) } $z=r(cos varphi +isin varphi )$ утверждает, что

zn=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)n {displaystyle z^{n}=r^{n}(cos nvarphi +isin nvarphi )^{n} }

{displaystyle z^{n}=r^{n}(cos nvarphi +isin nvarphi )^{n} }

для любого n∈Z.{displaystyle nin mathbb {Z} .} $nin {mathbb {Z}}.$

Содержание

1 Доказательство
2 Применение
3 История
4 См. также
5 Примечания

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ {displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi }

$e^{{ivarphi }}=cos varphi +isin varphi$ и тождества для экспонент (ea)b=eab{displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}!} $(e^{{a}})^{{b}}=e^{{ab}}!$ , где b — целое число.[1]

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

z1/n=[r(cos⁡(φ+2πk)+isin⁡(φ+2πk))]1/n=r1/n(cos⁡φ+2πkn+isin⁡φ+2πkn),{displaystyle z^{1/n}=[r(cos(varphi +2pi k)+isin(varphi +2pi k))]^{1/n}=r^{1/n}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),}

z^{{1/n}}=[r(cos(varphi +2pi k)+isin(varphi +2pi k))]^{{1/n}}=r^{{1/n}}left(cos {frac {varphi +2pi k}{n}}+isin {frac {varphi +2pi k}{n}}right),

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса rn{displaystyle {sqrt[{n}]{r}}}

${sqrt[ {n}]{r}}$ с центром в нуле.

История

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания

↑ Если b — нецелое число, то (ea)b{disp
laystyle (e^{a})^{b}!} $(e^{{a}})^{{b}}!$ — многозначная функция переменной a и eab{displaystyle e^{ab}!} $e^{{ab}}!$ является лишь одним из её значений.