Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера   и тождества для экспонент  , где b — целое число.[1]

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

 

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в нуле.

История

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания

  1. Если b — нецелое число, то   — многозначная функция переменной a и   является лишь одним из её значений.