Формула Муавра

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \ }$  и тождества для экспонент ${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}\!}$ , где b — целое число.^[1]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

${\displaystyle z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$ 

где k = 0, 1, …, n—1.

Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$  с центром в нуле.

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавром.

• Корни из единицы — приложение формулы Муавра
• Формула Муавра в статье «Комплексное число»