Формула Герона

Разделы:

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),{displaystyle S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

где p — полупериметр треугольника: p=a+b+c2{displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}} $p={frac {a+b+c}{2}}$ .

Доказательство:

S=12ab⋅sin⁡γ{displaystyle S={1 over 2}abcdot sin {gamma }}

S={1 over 2}abcdot sin {gamma }

где γ{displaystyle gamma } $gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне c{displaystyle c} $c$ . По теореме косинусов:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ,{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma ,}

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma ,

Отсюда:

cos⁡γ=a2+b2−c22ab,{displaystyle cos gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} over 2ab},}

cos gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} over 2ab},

Значит,

sin2⁡γ=1−cos2⁡γ=(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ)={displaystyle sin ^{2}gamma =1-cos ^{2}gamma =(1-cos gamma )(1+cos gamma )=}

sin ^{2}gamma =1-cos ^{2}gamma =(1-cos gamma )(1+cos gamma )=

=2ab−a2−b2+c22ab⋅2ab+a2+b2−c22ab={displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} over 2ab}cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} over 2ab}=}

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} over 2ab}cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} over 2ab}=

=c2−(a−b)22ab⋅(a+b)2−c22ab=14a2b2(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c){displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} over 2ab}cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} over 2ab}={1 over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}

={{c^{2}-(a-b)^{2}} over 2ab}cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} over 2ab}={1 over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

Замечая, что a+b+c=2p{displaystyle a+b+c=2p} $a+b+c=2p$ , a+b−c=2p−2c{displaystyle a+b-c=2p-2c} $a+b-c=2p-2c$ , a+c−b=2p−2b{displaystyle a+c-b=2p-2b} $a+c-b=2p-2b$ , c−a+b=2p−2a{displaystyle c-a+b=2p-2a} $c-a+b=2p-2a$ , получаем:

sin⁡γ=2abp(p−a)(p−b)(p−c).{displaystyle sin gamma ={2 over ab}{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

sin gamma ={2 over ab}{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Таким образом,

S=12absin⁡γ=p(p−a)(p−b)(p−c),{displaystyle S={1 over 2}absin gamma ={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

S={1 over 2}absin ga mma ={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

ч.т.д.

Содержание

1 История
2 Вариации
- 2.1 Аналоги формулы Герона
3 Обобщения
4 Для сферического треугольника
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

История

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации

Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

S=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S={frac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

S=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4){displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S={frac {1}{4}}{sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

S=14(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)(a+b+c).{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}

S={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.

S=144a2b2−(a2+b2−c2)2.{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:

−16S2=|0a2b21a20c21b2c2011110|=|abc0ba0cc0ab0cba|{displaystyle -16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}} $-16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}$
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) (рус. для вычисления гиперобъёма симплекса.
Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым [2][3] для формулы Герона.

Аналоги формулы Герона

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [4]

S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc).{displaystyle S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}}.}

S={frac {4}{3}}{sqrt {sigma (sigma -m_{a})(sigma -m_{b})(sigma -m_{c})}}.

Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через H=(ha−1+hb−1+hc−1)/2{displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2} $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ . Тогда имеем [5]

S−1=4H(H−ha−1)(H−hb−1)(H−hc−1){displaystyle S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}

S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}

или в развернутом видеS=1(1ha+1hb+1hc)(1hc+1hb−1ha)(1ha+1hc−1hb)(1ha+1hb−1hc){displaystyle S={frac {1}{sqrt {({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}})({frac {1}{h_{c}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{a}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{c}}}-{frac {1}{h_{b}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{c}}})}}}}

$S={frac {1}{sqrt {({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}})({frac {1}{h_{c}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{a}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{c}}}-{frac {1}{h_{b}}})({frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}-{frac {1}{h_{c}}})}}}$

Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [6]

S=D2s(s−sin⁡α)(s−sin⁡β)(s−sin⁡γ).{displaystyle S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.}

S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ.{displaystyle D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}.}

$D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}.$

Обобщения

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d),{displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},} $S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$

где p=a+b+c+d2{displaystyle p={frac {a+b+c+d}{2}}}

p={frac {a+b+c+d}{2}}

— полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

Та же Формула Брахмагупты через определитель[7]:

S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}}

$S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}$

Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [2].
Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны l1,l2,l3,l4,l5,l6{displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}} $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ , то для его объёма V{displaystyle V} $V$ верно выражение

144V2=l12l52(l22+l32+l42+l62−l12−l52)+l22l62(l12+l32+l42+l52−l22−l62)+l32l42(l12+l22+l52+l62−l32−l42)−l12l22l42−l22l32l52−l12l32l62−l42l52l62{displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}} $144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}$ .
Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде:

Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы [8]

volume=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)192uvw{displaystyle {text{volume}}={frac {sqrt {,(-a+b+c+d),(a-b+c+d),(a+b-c+d),(a+b+c-d)}}{192,u,v,w}}}

{displaystyle {text{volume}}={frac {sqrt {,(-a+b+c+d),(a-b+c+d),(a+b-c+d),(a+b+c-d)}}{192,u,v,w}}}

где

a=xYZb=yZXc=zXYd=xyzX=(w−U+v)(U+v+w)x=(U−v+w)(v−w+U)Y=(u−V+w)(V+w+u)y=(V−w+u)(w−u+V)Z=(v−W+u)(W+u+v)z=(W−u+v)(u−v+W).{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W).end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W).end{aligned}}}

Для сферического треугольника

Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны θa=aR,θb=bR,θc=cR{displaystyle theta _{a}={frac {a}{R}},theta _{b}={frac {b}{R}},theta _{c}={frac {c}{R}}} $theta _{a}={frac {a}{R}},theta _{b}={frac {b}{R}},theta _{c}={frac {c}{R}}$ как:

S=4R2arctg⁡tg⁡(θs2)tg⁡(θs−θa2)tg⁡(θs−θb2)tg⁡(θs−θc2){displaystyle S=4R^{2},operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac {theta _{s}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}}} $S=4R^{2},operatorname {arctg} {sqrt {operatorname {tg} left({frac {theta _{s}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{a}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{b}}{2}}right)operatorname {tg} left({frac {theta _{s}-theta _{c}}{2}}right)}}$ , где θs=θa+θb+θc2{displaystyle theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}} $theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.

См. также

Теорема котангенсов

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
↑ 1 2 Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка.
↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html.
↑ Benyi, Arpad, «A Heron-type formula for the triangle,» Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324–326.
↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,» Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines,» Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.

Литература

Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. Исправьте короткие примечания, установленные через шаблон .ts-templateCallCode-weak:first-child>.ts-templateCallCode-pipe:first-child{margin-left:0}.mw-parser-output .ts-templateCallCode-param+.ts-templateCallCode-closing{margin-left:2px}.mw-parser-output span.ts-templateCallCode>.ts-templateCallCode-templateName a{padding:0 0.5em!important;position:relative;margin:-0.5em}]]>{{sfn}} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список сносок: