Формула Герона

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

где p — полупериметр треугольника: $p={\frac {a+b+c}{2}}$ .

Доказательство:

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$ . По теореме косинусов:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Отсюда:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

Значит,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=

={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

.

Замечая, что $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , $a+c-b=2p-2b$ , $c-a+b=2p-2a$ , получаем:

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Таким образом,

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

ч.т.д.

История

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации

Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:
$-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.) (рус. для вычисления гиперобъёма симплекса.
Второй определитель последней формулы предложен В. Дроздовым ^[2] ^[3] для формулы Герона.

Аналоги формулы Герона

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через m_a, m_b и m_c, если их полусумма есть σ = (m_a + m_b + m_c)/2. Тогда мы имеем ^[4]

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.

Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через h_a, h_b и h_c, а полусумму их обратных величин обозначим через $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ . Тогда имеем ^[5]

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}

или в развернутом виде $S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{a}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})}}}$

Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем ^[6]

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$

Обобщения

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},$

где

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

— полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

Та же Формула Брахмагупты через определитель^[7]:

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}$

Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. ^[2].
Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ , то для его объёма $V$ верно выражение
$144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}$ .
Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде:

Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы ^[8]

{\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}

где

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}

Для сферического треугольника

Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны $\theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}$ как:
$S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$ , где $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.