Условная вероятность

Разделы:

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Содержание

Определение

Пусть (Ω,F,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} $(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )$ — фиксированное вероятностное пространство. Пусть A,B∈F{displaystyle A,Bin {mathcal {F}}} $A,Bin mathcal{F}$ суть два случайных события, причём P(B)>0{displaystyle mathbb {P} (B)>0} $mathbb {P} (B)>0$ . Тогда условной вероятностью события A{displaystyle A} $A$ при условии события B{displaystyle B} $B$ называется

P(A∣B)=P(A∩B)P(B){displaystyle mathbb {P} (Amid B)={frac {mathbb {P} (Acap B)}{mathbb {P} (B)}}}

mathbb{P}(A mid B) = frac{mathbb{P}(Acap B)}{mathbb{P}(B)}

Замечания

Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

P(A∩B)=P(A∣B)P(B){displaystyle mathbb {P} (Acap B)=mathbb {P} (Amid B)mathbb {P} (B)}

mathbb{P}(Acap B) = mathbb{P}(A mid B) mathbb{P}(B)

Если P(B)=0{displaystyle mathbb {P} (B)=0} $mathbb{P}(B) = 0$ , то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
Условная вероятность является вероятностью, то есть функция Q:F→R{displaystyle mathbb {Q} :{mathcal {F}}to mathbb {R} } ${displaystyle mathbb {Q} :{mathcal {F}}to mathbb {R} }$ , заданная формулой

Q(A)=P(A∣B),∀A∈F{displaystyle mathbb {Q} (A)=mathbb {P} (Amid B),;forall Ain {mathcal {F}}}

{displaystyle mathbb {Q} (A)=mathbb {P} (Amid B),;forall Ain {mathcal {F}}}

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если A,B{displaystyle A,B} $A,B$ — несовместимые события, то есть A∩B=∅{displaystyle Acap B=varnothing } $A cap B = varnothing$ и P(A)>0,P(B)>0{displaystyle mathbb {P} (A)>0,;mathbb {P} (B)>0} $mathbb{P}(A)>0,; mathbb{P}(B)>0$ , то

P(A∣B)=0{displaystyle mathbb {P} (Amid B)=0}

mathbb{P}(A mid B) = 0

P(B∣A)=0{displaystyle mathbb {P} (Bmid A)=0}

mathbb{P}(B mid A) = 0

Определение

Замечания

Пример

См. также