Унарная система счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

${\displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b}$ ,

где:

n — число цифр (единиц),

k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x_1,b,

a — число, определяющее множество из которого берутся a_k,

a_k — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),

b — число, основание весовой функции,

• при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
• при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.
  

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x_1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

${\displaystyle {\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=1^{n}=1}$ ,

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры a_k, :n — число элементов (цифр) в числе x_1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Целые числа записываются в виде:

${\displaystyle x_{1}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_{2}a_{1}a_{0})_{1}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}}$ ,

где:

a_k — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

${\displaystyle x_{1}=(a1_{n-1}a1_{n-2}...a1_{1}a1_{0}/a2_{m-1}a2_{m-2}...a2_{1}a2_{0})_{1}={\frac {\sum _{k=0}^{n-1}a1_{k}}{\sum _{k=0}^{m-1}a2_{k}}}}$ ,

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x₁,

m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x₁.

0:

1: |

5: ||||| (иногда ${\displaystyle \angle \!\!\!\!\Box }$  )

7: ||||| || или |||| ||

• при обучении детей счёту — счётные палочки
• при подсчёте голосов на выборах в малых группах
• в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней)
• в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов)
• в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней)
• Робинзоном Крузо для ведения календаря на необитаемом острове
• в домино при подсчёте очков
• Единичное кодирование
• Коды Голомба
• Машина Тьюринга
• в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе
• в дешифраторах
• в счётах, внутри одного разряда
• при фальсификации диагонального метода Кантора
• в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятеричных разрядов

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111111111».

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «1».

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «11».

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111».

Если весовые коэффициенты ${\displaystyle b}$  зависят от положения цифр (единиц) (${\displaystyle b(k)}$ ), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

${\displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b(k)}$ ,

где:

${\displaystyle b(k)}$  — числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе ${\displaystyle x_{1,b}}$ .

Пример: при ${\displaystyle b(k)=k+1}$ 

• число ${\displaystyle 1_{1,b}=1\cdot 1=1_{10}}$ ,
• число ${\displaystyle 11_{1,b}=1\cdot 2+1\cdot 1=3_{10}}$ ,
• число ${\displaystyle 111_{1,b}=1\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot 1=6_{10}}$ ,
• число ${\displaystyle 1111_{1,b}=1\cdot 4+1\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot 1=10_{10}}$ .

При ${\displaystyle b(k)\equiv 1}$  единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции ${\displaystyle b(k)=b^{k}}$  образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

${\displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}$ ,

в которых множество ${\displaystyle a}$ , из которого берутся ${\displaystyle a_{k}}$ , равно ${\displaystyle \{1\}}$ , а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (${\displaystyle b\neq 1}$ ).

Дробные числа записываются в виде:

${\displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}...a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}b^{k}}$ ,

где:

${\displaystyle m}$  — число цифр дробной части числа ${\displaystyle x_{1,b}}$ .

• Счёты

• Последовательность A000042 Единичное представление натуральных чисел в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
• http://club-edu.tambov.ru/vjpusk/vjp108/rabot/31/nepozicss.html Непозиционные системы счисления