Унарная система счисления

Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.[1]

Попытки записи чисел с целой и дробной частью только одной цифрой в строчку пока безуспешны; однако их можно записывать в столбик.

Содержание

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akb{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b} ,

где:

n — число цифр (единиц),
k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x1,b,
a — число, определяющее множество из которого берутся ak,
ak — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),
b — число, основание весовой функции,
  • при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
  • при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

A¯(a,n)=A¯an=an=1n=1{displaystyle {bar {A}}(a,n)={bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=1^{n}=1} ,

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры ak, :n — число элементов (цифр) в числе x1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:

x1=(an−1an−2…a2a1a0)1=∑k=0n−1ak{displaystyle x_{1}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}} ,

где:

ak — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну
«цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

x1=(a1n−1a1n−2…a11a10/a2m−1a2m−2…a21a20)1=∑k=0n−1a1k∑k=0m−1a2k{displaystyle x_{1}=(a1_{n-1}a1_{n-2}…a1_{1}a1_{0}/a2_{m-1}a2_{m-2}…a2_{1}a2_{0})_{1}={frac {sum _{k=0}^{n-1}a1_{k}}{sum _{k=0}^{m-1}a2_{k}}}} ,

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x1,
m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x1.

Примеры использования

0:

1: |

5: ||||| (иногда ∠◻{displaystyle angle !!!!Box }

  )

7: ||||| || или |||| ||

Применение

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «111111111».

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «1».

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «11».

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от «» до «111».

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты b{displaystyle b}

  зависят от положения цифр (единиц) (b(k){displaystyle b(k)} ), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akb(k){displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b(k)} ,

где:

b(k){displaystyle b(k)}  — числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x1,b{displaystyle x_{1,b}} .

Пример: при b(k)=k+1{displaystyle b(k)=k+1}

 

  • число 11,b=1⋅1=110{displaystyle 1_{1,b}=1cdot 1=1_{10}} ,
  • число 111,b=1⋅2+1⋅1=310{displaystyle 11_{1,b}=1cdot 2+1cdot 1=3_{10}} ,
  • число 1111,b=1⋅3+1⋅2+1⋅1=610{displaystyle 111_{1,b}=1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=6_{10}} ,
  • число 11111,b=1⋅4+1⋅3+1⋅2+1⋅1=1010{displaystyle 1111_{1,b}=1cdot 4+1cdot 3+1cdot 2+1cdot 1=10_{10}} .

При b(k)≡1{displaystyle b(k)equiv 1}

  единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции b(k)=bk{displaystyle b(k)=b^{k}}

  образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

x1,b=(an−1an−2…a2a1a0)1,b=∑k=0n−1akbk{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{2}a_{1}a_{0})_{1,b}=sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}} ,

в которых множество a{displaystyle a}

 , из которого берутся ak{displaystyle a_{k}} , равно {1}{displaystyle {1}} , а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1{displaystyle bneq 1} ).

Дробные числа записываются в виде:

x1,b=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m)1,b=∑k=mn−1akbk{displaystyle x_{1,b}=(a_{n-1}a_{n-2}…a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}…a_{-(m-1)}a_{-m})_{1,b}=sum _{k=m}^{n-1}a_{k}b^{k}} ,

где:

m{displaystyle m}  — число цифр дробной части числа x1,b{displaystyle x_{1,b}} .

См. также

Примечания

  1. Я. И. Перельман. Занимательная арифметика. Глава IV Недесятичные системы счисления. Простейшая система счисления

Ссылки