Тригонометрические функции

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции^[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:

синус ( $\sin x$ );
косинус ( $\cos x$ );

производные тригонометрические функции:

тангенс ( $\mathrm {tg} \,x$ );
котангенс ( $\mathrm {ctg} \,x$ );

другие тригонометрические функции:

секанс ( $\sec x$ );
косеканс ( $\mathrm {cosec} \,x$ );

обратные тригонометрические функции:

арксинус, арккосинус и т. д.

В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются $\tan x$ , $\cot x$ , $\csc x$ . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах^[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках $\pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}$ , а у котангенса и косеканса — в точках $\pm \pi n$ .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения

Определение для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника^[3]. Пусть AOB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

синусом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {AB}{OB}}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе);
косинусом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {OA}{OB}}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе);
тангенсом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {AB}{OA}}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему);
котангенсом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {OA}{AB}}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему);
секансом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {OB}{OA}}$ (отношение гипотенузы к прилежащему катету);
косекансом угла $\alpha$ называется отношение ${\frac {OB}{AB}}$ (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке $O$ , направлением оси абсцисс вдоль $OA$ и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами $2\pi$ (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и $\pi$ (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения. Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Определение для любых углов

Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла

\alpha

в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически^[4]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса $R$ с центром в начале координат $O$ . Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча $OB$ , при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки $B$ обозначим $x_{B}$ , ординату обозначим $y_{B}$ (см. рисунок 2).

Синусом называется отношение $\sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.$
Косинусом называется отношение $\cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.$
Тангенс определяется как $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.$
Котангенс определяется как $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.$
Секанс определяется как $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.$
Косеканс определяется как $\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.$

В силу свойств подобных фигур значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности $R$ . Часто радиус принимают равным величине единичного отрезка; тогда синус равен ординате $y_{B}$ , а косинус — абсциссе $x_{B}$ . На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если $\alpha$ — вещественное число, то синусом $\alpha$ в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна $\alpha$ . Аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),

с дополнительными условиями: $R(0)=1$ для косинуса и $R'(0)=1$ для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

\ \left(\cos x\right)''=-\cos x,

\ \left(\sin x\right)''=-\sin x.

Определение как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить^[5] как решения ( $f$ и $g$ соответственно) системы функциональных уравнений:

$\left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.$

при дополнительных условиях:

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ и $0<g(x)<1$ при $0<x<\pi /2$ .

Определение через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.

Пользуясь этими формулами, а также равенствами $\operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ и $\operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},$ можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

{\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}

{\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}

{\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}

\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),

где

B_{n}

— числа Бернулли,

E_{n}

— числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности

Радианы	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
Градусы	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$\sin \alpha$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\infty$	$0$	$\infty$	$0$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\infty$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$
$\sec \alpha$	$1$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$\infty$	$-1$	$\infty$	$1$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$\infty$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$1$	$\infty$	$-1$	$\infty$

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Радианы	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$
Градусы	$120^{\circ }$	$135^{\circ }$	$150^{\circ }$	$210^{\circ }$	$225^{\circ }$	$240^{\circ }$	$300^{\circ }$	$315^{\circ }$	$330^{\circ }$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$
$\cos \alpha$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2}}$	$-2$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$-{\sqrt {2}}$	$-2$

Радианы	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
Градусы	$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$22{,}5^{\circ }$	$36^{\circ }$	$54^{\circ }$	$67{,}5^{\circ }$	$72^{\circ }$	$75^{\circ }$
$\sin \alpha$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$
$\cos \alpha$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$2-{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2-{\sqrt {3}}$
$\sec \alpha$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {5}}+1$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$
$\operatorname {cosec} \,\alpha$	$2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$	${\sqrt {5}}+1$	${\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}$	${\sqrt {5}}-1$	${\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}$	$2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

$\sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},$

$\sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.$

$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$

$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$

$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {sec} } \,^{2}\alpha ,

1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha =\mathop {\mathrm {cosec} } \,^{2}\alpha .

Из определения тангенса и котангенса следует, что

\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для $0<x<\pi /2$ :

	sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
$\,\sin x=$	$\,\sin x$	${\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	${\frac {\operatorname {tg} x}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}x-1}}{\sec x}}$	${\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\cos x=$	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	$\,\cos x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\operatorname {ctg} x}{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}$	$\,{\frac {1}{\sec x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{\operatorname {cosec} x}}$
$\,\operatorname {tg} x=$	$\,{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	$\,\operatorname {tg} x$	$\,{\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}$
$\,\operatorname {ctg} x=$	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{\sin x}}$	$\,{\frac {\cos x}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$	$\,{\frac {1}{\operatorname {tg} x}}$	$\,\operatorname {ctg} x$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}$
$\,\sec x=$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	$\,{\frac {1}{\cos x}}$	$\,{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}$	$\,{\frac {\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{\operatorname {ctg} x}}$	$\,\sec x$	$\,{\frac {\operatorname {cosec} x}{\sqrt {\operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}$
$\,\operatorname {cosec} x=$	$\,{\frac {1}{\sin x}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}x}}{\operatorname {tg} x}}$	$\,{\sqrt {\operatorname {ctg} ^{2}x+1}}$	$\,{\frac {\sec x}{\sqrt {\sec ^{2}x-1}}}$	$\,\operatorname {cosec} x$

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции.
Тангенс и секанс имеют точки разрыва ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …, ±(n + 1/2)π, … (в градусной мере: ±90°, ±270°, ±450°, …, ±(n + 1/2)·180°, …).
Котангенс и косеканс имеют точки разрыва 0, ±π, ±2π, …, ±nπ, … (в градусной мере: 0°, ±180°, ±360°, …, ±n·180°, …).

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,

\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,

\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,

\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,

\sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,

\mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.

Периодичность

Функции $\sin x,\;\cos x,\;\sec x,\;\mathrm {cosec} \,x$ — периодические с периодом $2\pi$ , функции $\mathrm {tg} \,x$ и $\mathrm {ctg} \,x$ — c периодом $\pi$ .

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),

f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),

f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).

Здесь $f$ — любая тригонометрическая функция, $g$ — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,

или что то же самое:

\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.

Некоторые формулы приведения:

$\alpha$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi -\alpha$	$\pi +\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha$	${\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha$	$2\,\pi -\alpha$
$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$

Формулы сложения и вычитания

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,

\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,

\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},

\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,

\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},

\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},

\operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},

\operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.

Формулы тройного угла:

\sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,

\cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,

\operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.

Прочие формулы для кратных углов:

\sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),

\cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,

\operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},

\sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,

\cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,

\operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},

\operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},

\sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)

следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,

\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,

\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},

\mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},

где $[n]$ — целая часть числа $n$ , ${\binom {n}{k}}$ — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,

\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,

\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},

\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},

\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,

\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},

\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},

\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},

\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},

\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},

\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},

\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},

\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},

\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }},

\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }},

\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},

\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},

\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},

\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},

\sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},

\cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},

\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},

\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.

Иллюстрация равенства

\sin x-\cos x={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x-{\pi  \over 4}\right)

Суммы

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},

\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }},

\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }},

1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2},

\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi  \over 4}\right).

Существует представление:

A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),

где угол $\phi$ находится из соотношений:

\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},

\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}},$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}.$

Исследование функций в математическом анализе

Разложение в бесконечные произведения

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),

\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right).

Эти соотношения выполняются при любом значении $x$ .

Цепные дроби

\mathop {\rm {tg}} x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{\frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}

Производные и первообразные

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

$(\sin x)'=\cos x\,,$

$(\cos x)'=-\sin x\,,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x=\sec ^{2}x,$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x,$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\operatorname {tg} x,$

$(\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом^[6]:

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C\,,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,$

$\int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]