Тригонометрические тождества

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$  и ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$  соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Замечание

Есть и другие тригонометрические функции.

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :${\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =360^{\circ }}$  :

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\ \sin {\frac {\beta }{2}}\ \sin {\frac {\gamma }{2}}}$  (7.6)

• ${\displaystyle \sin x=a.}$ 

Если ${\displaystyle |a|>1}$  — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$  — решением является число вида ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$ 

• ${\displaystyle \cos x=a.}$ 

Если ${\displaystyle |a|>1}$  — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$  — решением является число вида ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}$ 

Решением является число вида ${\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}$ 

Решением является число вида ${\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$ 

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}$ ).

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

${\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi )}$ 

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  не равны нулю одновременно, ${\displaystyle \varphi }$  — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.}$ 

Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}}$ , однако нельзя всегда считать, что ${\displaystyle \varphi \,=\,\mathrm {arctg} \,{\tfrac {b}{a}}}$ . Нужно учитывать знаки ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  для определения, к какой четверти принадлежит угол ${\displaystyle \varphi }$ .

В приведённых ниже формулах числа ${\displaystyle k}$  и ${\displaystyle n}$  целые.

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).}$ 

${\displaystyle 1\pm \sin x=2\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {x}{2}}\right).}$ 

${\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}$ 

${\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}$ 

${\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.}$ 

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.}$ 

${\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$ 

${\displaystyle \cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$ 

${\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}$ 

${\displaystyle \sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).}$ 

${\displaystyle \sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).}$ 

${\displaystyle \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}$ 

${\displaystyle \cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$ 

${\displaystyle \sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).}$ 

${\displaystyle \sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).}$ 

${\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).}$ 

${\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).}$ 

${\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).}$ 

${\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.}$ 

${\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.}$ 

${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.}$ 

${\displaystyle \sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} 3x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \sin 5x=16\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} 5x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \sin 7x=64\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} 7x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}$ 

${\displaystyle \sin nx=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {\pi k}{n}}\right).}$ 

${\displaystyle \operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).}$ 

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin(kx)=\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$ 

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos(kx)=\cos \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$ 

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.}$ 

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.}$ 

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{2n+1}}=-{\frac {1}{2}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2(n+1)}}={\frac {\sqrt {n+1}}{2^{n}}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{2n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}x\right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}x\right)}{2^{n+1}\sin x}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2^{n+1}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{2^{n}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2x}}.}$ 

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{x}}.}$ 

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {1}{8}}.}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}=-{\frac {1}{8}}.}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$ 

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {7\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$ 

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$ 

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла ${\displaystyle \alpha }$  заданного в градусах и радианах:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {360^{\circ }\cdot \alpha }{\pi }}\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(180^{\circ }k-90^{\circ }+\alpha )(180^{\circ }k-90^{\circ }-\alpha )}}=2\alpha \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k-1/2)^{2}\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}.}$ 

${\displaystyle \operatorname {arctg} {\frac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}.}$ 

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x}$  выполнено следующее равенство:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$ 

где ${\displaystyle e}$  — основание натурального логарифма,

${\displaystyle i}$  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции ${\displaystyle \sin x}$  и ${\displaystyle \cos x}$  следующим образом :

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}$ 

Отсюда следует, что

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}$ 

${\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}$ 

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции