Точка (геометрия)

Евклид первой аксиомой в своих «Началах» определил точку как «объект, не имеющий частей». В современной аксиоматике евклидовой геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств — аксиомами.

В выбранной системе координат любую точку двумерного евклидова пространства можно представить как упорядоченную пару (x; y) действительных чисел. Аналогично, точку n-мерного евклидова пространства (а также векторного или аффинного пространства) можно представить как кортеж (a₁, a₂, … , a_n) из n чисел.

Многие объекты в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, которые соответствуют определённым аксиомам. Например, прямая — это бесконечное множество точек вида ${\displaystyle \scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }}$ , где c₁ … c_n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость, отрезок и другие связанные понятия. Сегмент прямой, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

В дополнение к определению точек и объектов, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это позволило построить почти все геометрические понятия, известные в то время. Однако постулат Евклида о точках не был ни полным, ни окончательным, и содержал также положения, которые не следовали непосредственно из его аксиом, такие как упорядочение точек на линии или существование определённых точек. Некоторые современные расширения системы Евклида устраняют эти противоречия.

Во всех общих определениях размерности точка является 0-мерным объектом, но при этом описывается по-разному в различных концепциях размерности.

Векторное пространство

Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0), линейно независимое подмножество отсутствует. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$ .

Топологическая размерность

Топологическая размерность топологического пространства X определяется как минимальное значение n, так что каждое конечное открытое покрытие ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  из X допускает конечное открытое покрытие ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  из X, которое уточняет ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ , в котором ни одна точка не включена в более чем n + 1 элементов. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия.

Точка является нульмерной по отношению к размерности покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Хаусдорфова размерность

Пусть X метрическое пространство. Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), то множество Хаусдорфа в d-мерном пространстве S является инфимумом множества чисел δ ≥ 0, для которого существует некоторый (проиндексированный) набор метрик ${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$ , покрывающий S с r_i > 0 для каждого i ∈ I, удовлетворяющего ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta }$ .

Хаусдорфова размерность метрического пространства X определяется как

${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$ .

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что она может быть покрыта одной сферой произвольно малого радиуса.

Понятие точки является фундаментальным в большинстве направлений геометрии и топологии, но существуют математические концепции, в принципе отказывающиеся от понятия точки, например, некоммутативная геометрия^?! и Pointless topology (русскоязычного эквивалента термина пока не существует). В этих подходах «пространство без точек» определяется не как множество, а через некоторую структуру (соответственно алгебраическую или логическую), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных отображений или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» может быть не определена. Исследования таких структур содержатся в некоторых трудах А. Н. Уайтхеда.

Для ряда теорий в физике и математике полезно использование такого абстрактного объекта, как точка, которая имеет ненулевую массу или заряд (это особенно распространено в классической электродинамике, где электроны представляются как точки с ненулевым зарядом). Дельта-функция Дирака, или δ-функция, не является функцией вещественной переменной, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций, и не равна нулю только в точке ${\displaystyle x=0}$ , где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности ${\displaystyle x=0}$  был равен 1.^[2][3][4]. Физическая интерпретация дельта-функции представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд^[5]. Эта функция введена английским физиком-теоретиком Полем Дираком. В процессе обработки сигналов её часто называют единичным импульсным символом (или функцией)^[6]. Дискретным аналогом δ-функции Дирака является символ Кронекера, который обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

• Материальная точка
• Аффинное пространство
• Вершина графа
• Граница
• Касп
• Критическая точка
• Основания геометрии
• Особая точка кривой
• Поточечная операция
• Предельная точка

• Clarke, Bowman, 1985, «Individuals and Points,» Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids, " The Journal of Philosophy 19: 449-61.
• Gerla, G., 1995, «Pointless Geometries» in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015-31.
• Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
• Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
• Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.
• Surik Baregamyan. 2007 год. Berlin, Germany.

• Point (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Definition of Point
• Points definition pages