У этого термина существуют и другие значения, см. Топология (значения).
Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики.
Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем; пример объекта, изучаемого в топологии.
Гомеоморфность бублика и кружки.
Топология изучает:
- В самом общем виде — явление непрерывности;
- В частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость.
В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы.
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).
Содержание
История
Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии[1]
Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.
Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:
«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». [2]
Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы — топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.
Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.
Разделы топологии
Общая топология
Основная статья: Общая топология
Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.
Алгебраическая топология
Основная статья: Алгебраическая топология
Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.
Дифференциальная топология
Основная статья: Дифференциальная топология
Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия.
Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов и четырёхмерную топологию.
Вычислительная топология
Основная статья: Вычислительная топология
Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.
См. также
При
мечания
- ↑ J. J. O’Connor, E. F. Robertson. History of Topology — The MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews.
- ↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П., 1981, с. 98..
Литература
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).
- Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014
- Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — 2007.
- Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. 2. — С. 98-99. (недоступная ссылка)
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
- Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
- Прасолов В. В. Наглядная топология. — М.: МЦНМО, 1995.
- Стюарт Я. Топология. // Квант, № 7, 1992.
- Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе
Ссылки
- Раздел «Алгебраические многообразия и топология» физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:
- Топология, видео
- Топология как геометрия XX века // Лекция математика Сергея Ландо в проекте ПостНаука (13.04.2013)
