Топология

У этого термина существуют и другие значения, см. Топология (значения).

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики.

Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем; пример объекта, изучаемого в топологии.
Гомеоморфность бублика и кружки.

Топология изучает:

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний).

История

 
Семь мостов Кёнигсберга — известная задача, решённая Эйлером и способствовавшая развитию топологии[1]

Раздел математики, ныне называемый топологией, берёт своё начало с изучения некоторых задач геометрии.

Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера, однако термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». [2]

Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы — топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Разделы топологии

Общая топология

Основная статья: Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.

Алгебраическая топология

Основная статья: Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология

Основная статья: Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия.

Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов и четырёхмерную топологию.

Вычислительная топология

Основная статья: Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

Примечания

  1. ↑ J. J. O’Connor, E. F. Robertson. History of Topology — The MacTutor History of Mathematics archive, University of St. Andrews.
  2. ↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П., 1981, с. 98..

Литература

  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).
  • Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014
  • Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — 2007.
  • Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.
  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. 2. — С. 98-99. (недоступная ссылка)
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
  • Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
  • Прасолов В. В. Наглядная топология. — М.: МЦНМО, 1995.
  • Стюарт Я. Топология. // Квант, № 7, 1992.
  • Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе

Ссылки