Тождество (математика)

БЕЛЕБЕРДА БЕЛЕБОРДЕНЬ!

≡

То́ждество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например:

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. $25^{2}=625.$

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом « $\equiv$ ».

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство $x+2=5$ имеет место не при всяком значении $x$ , а только при $x=3$ . Поэтому оно не является тождеством.

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождества выполняется не для всех возможных переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

выражение ${\frac {a^{2}}{a}}=a$ тождественно при любом $a,$ кроме $a=0$ .
выражение ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
выражение $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: $ab\neq ba$ .

См. также