Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние в математике — отображение, переводящее аргумент в себя.

Содержание

Определение

Пусть X{displaystyle X}

$X$ произвольное множество. Тогда тождественное отображение X{displaystyle X} $X$ на X{displaystyle X} $X$ представляет собой функцию, такую что

idX(x)=x{displaystyle mathrm {id} _{X}(x)=x}

{displaystyle mathrm {id} _{X}(x)=x}

для любого x∈X{displaystyle xin X}

$xin X$ .

Пусть F:X→Y{displaystyle F:Xto Y} $F:Xto Y$ — произвольная функция. Тогда
F∘idX=F{displaystyle Fcirc mathrm {id} _{X}=F} $F circ mathrm{id}_X = F$ ,
idY∘F=F{displaystyle mathrm {id} _{Y}circ F=F} $mathrm{id}_Y circ F = F$ ,
где ∘{displaystyle circ } $circ$ обозначает композицию функций.
В частности, idX{displaystyle mathrm {id} _{X}} $mathrm{id}_X$ является нейтральным элементом моноида, образованного отображениями из X{displaystyle X} $X$ в X{displaystyle X} $X$ .
Пусть F:X→Y{displaystyle F:Xto Y} $F:Xto Y$ — биекция, и F−1{displaystyle F^{-1}} $F^{-1}$ — её обратная функция. Тогда
F∘F−1=idY{displaystyle Fcirc F^{-1}=mathrm {id} _{Y}} $F circ F^{-1} = mathrm{id}_Y$ ,
F−1∘F=idX{displaystyle F^{-1}circ F=mathrm {id} _{X}} $F^{-1} circ F = mathrm{id}_X$ .