Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике[1], она также нашла применения в информатике[2], логике[3] и в теоретической физике[4][5]a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[уточнить]. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell[6].

Содержание

Определение

Категория C{displaystyle {mathcal {C}}}

  — это:

  • класс объектов ObC{displaystyle Ob_{mathcal {C}}} ;
  • для каждой пары объектов A, B задано множество морфизмов (или стрелок) HomC(A,B){displaystyle mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)} , причём каждому морфизму соответствуют единственные A и B;
  • для пары морфизмов f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}  и g∈Hom(B,C){displaystyle gin mathrm {Hom} (B,C)}  определена композиция g∘f∈Hom(A,C){displaystyle gcirc fin mathrm {Hom} (A,C)} ;
  • для каждого объекта A{displaystyle A}  задан тождественный морфизм idA∈Hom(A,A){displaystyle id_{A}in mathrm {Hom} (A,A)} ;

причём выполняются две аксиомы:

  • операция композиции ассоциативна: h∘(g∘f)=(h∘g)∘f{displaystyle hcirc (gcirc f)=(hcirc g)circ f}  и
  • тождественный морфизм действует тривиально: f∘idA=idB∘f=f{displaystyle fcirc id_{A}=id_{B}circ f=f}  для f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)} 
Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в к
оторых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру[7]. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий 

Двойственность

Для категории C{displaystyle {mathcal {C}}}

  можно определить двойственную категорию Cop{displaystyle {mathcal {C}}^{op}} , в которой:

  • объекты совпадают с объектами исходной категории;
  • морфизмы получаются «обращением стрелок»: HomCop(B,A)≃HomC(A,B){displaystyle mathrm {Hom} _{{mathcal {C}}^{op}}(B,A)simeq mathrm {Hom} _{mathcal {C}}(A,B)} 

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

  называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g∈Hom(B,A){displaystyle gin mathrm {Hom} (B,A)} , что g∘f=idA{displaystyle gcirc f=id_{A}}  и f∘g=idB{displaystyle fcirc g=id_{B}} . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов End(A)=Hom(A,A){displaystyle mathrm {End} (A)=mathrm {Hom} (A,A)}

  является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом idA{displaystyle id_{A}} .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов Aut(A){displaystyle mathrm {Aut} (A)}

  по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

  такой, что для любых g1,g2∈Hom(X,A){displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (X,A)}  из f∘g1=f∘g2{displaystyle fcirc g_{1}=fcirc g_{2}}  следует, что g1=g2{displaystyle g_{1}=g_{2}} .Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм f∈Hom(A,B){displaystyle fin mathrm {Hom} (A,B)}

 , что для любых g1,g2∈Hom(B,X){displaystyle g_{1},g_{2}in mathrm {Hom} (B,X)}  из g1∘f=g2∘f{displaystyle g_{1}circ f=g_{2}circ f}  следует g1=g2{displaystyle g_{1}=g_{2}} . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество ∅{displaystyle varnothing } , терминальным — любое множество из одного элемента {⋅}{displaystyle {cdot }} .
Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Прямое произведение 

Произведение (пары) объектов A и B — это объект A×B{displaystyle Atimes B}

  с морфизмами p1:A×B→A{displaystyle p_{1}:Atimes Bto A}  и p2:A×B→B{displaystyle p_{2}:Atimes Bto B}  такими, что для любого объекта C{displaystyle C}  с морфизмами f1:C→A{displaystyle f_{1}:Cto A}  и f2:C→B{displaystyle f_{2}:Cto B}  существует единственный морфизм g:C→A×B{displaystyle g:Cto Atimes B}  такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы p1:A×B→A{displaystyle p_{1}:Atimes Bto A}  и p2:A×B→B{displaystyle p_{2}:Atimes Bto B}  называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение A+B{displaystyle A+B}

  объектов A{displaystyle A}  и B{displaystyle B} . Соответствующие морфизмы ıA:A→A+B{displaystyle imath _{A}:Ato A+B}  и ıB:B→A+B{displaystyle imath _{B}:Bto A+B}  называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств A×B{displaystyle Atimes B} , а сумма — дизъюнктное объединение A⊔B{displaystyle Asqcup B} .
Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение A⊗B{displaystyle Aotimes B} , а произведение — прямая сумма колец A⊕B{displaystyle Aoplus B} .
Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств A⊕B{displaystyle Aoplus B} .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов ∏i∈IAi{displaystyle prod _{iin I}A_{i}}

 . Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения ∏i∈IVi{displaystyle prod _{iin I}V_{i}}  являются произвольные бесконечные последовательности элементов vi∈Vi{displaystyle v_{i}in V_{i}} , в то время как элементами бесконечного копроизведения ∐i∈IVi{displaystyle coprod _{iin I}V_{i}}  являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор F:C→D{displaystyle {mathcal {F}}:{mathcal {C}}to {mathcal {D}}}

  ставит в соответствие каждому объекту категории C{displaystyle {mathcal {C}}}  объект категории D{displaystyle {mathcal {D}}}  и каждому морфизму f:A→B{displaystyle f:Ato B}  морфизм F(f):F(A)→F(B){displaystyle F(f):F(A)to F(B)}  так, что

  • F(idA)=idF(A){displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}  и
  • F(g)∘F(f)=F(g∘f){displaystyle F(g)circ F(f)=F(gcirc f)} .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из C{displaystyle {mathcal {C}}}

  в Dop{displaystyle {mathcal {D}}^{op}}  (или из Cop{displaystyle {mathcal {C}}^{op}}  в D{displaystyle {mathcal {D}}} ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму f:A→B{displaystyle f:Ato B}  он сопоставляет морфизм F(f):F(B)→F(A){displaystyle F(f):F(B)to F(A)} , соответственным образом обращается правило композиции: F(g)∘F(f)=F(f∘g){displaystyle F(g)circ F(f)=F(fcirc g)} .

Естественные преобразования

Основная статья: Естественное преобразование

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если F{displaystyle F}

  и G{displaystyle G}  — ковариантные функторы из категории C{displaystyle C}  в D{displaystyle D} , то естественное преобразование η{displaystyle eta }  сопоставляет каждому объекту X{displaystyle X}  категории C{displaystyle C}  морфизм ηX:F(X)→G(X){displaystyle eta _{X}:F(X)to G(X)}  таким образом, что для любого морфизма f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}  в категории C{displaystyle C}  следующая диаграмма коммутативна:Commutative diagram defining natural transformations 

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что ηX{displaystyle eta _{X}}

  — изоморфизм для любого X{displaystyle X} .

Некоторые типы категорий

См. также

Ссылки

  1. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.:МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — 1988. — XIII, 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
  3. Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  4. Нужна ли физикам теория категорий?. Оригинал http://arxiv.org/abs/0808.1032
  5. Топосы для физики.  (англ.)
  6. Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 24 августа 2011 года.
  7. J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats, — New York: John Wiley and Sons, — 1990.

Литература

  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
  • С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
  • Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
  • Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
  • Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
  • Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.