Теория автоматов

Символ — любой атомарный блок данных, который может производить эффект на машину. Чаще всего символ — это буква обычного языка, но может быть, к примеру, графическим элементом диаграммы.

• Слово — строка символов, создаваемая через конкатенацию (соединение).
• Алфавит — конечный набор различных символов (множество символов)
• Язык — множество слов, формируемых символами данного алфавита. Может быть конечным или бесконечным.

Автоматы

Автоматы могут быть детерминированные и недетерминированные.

Детерминированный Конечный Автомат (ДКА) — последовательность (кортеж) из пяти элементов ${\displaystyle (Q,\Sigma ,\delta ,S_{0},F)}$ , где:

• ${\displaystyle Q}$  — множество состояний автомата
• ${\displaystyle \Sigma }$  — алфавит языка, который понимает автомат
• ${\displaystyle \delta }$  — функция перехода, такая что ${\displaystyle \delta :Q\times \Sigma \rightarrow Q}$ 
• ${\displaystyle S_{0}\in Q}$  — начальное состояние
• ${\displaystyle F\subseteq Q}$  — множество конечных состояний.

Недетерминированный Конечный Автомат (НКА) — последовательность (кортеж) из пяти элементов ${\displaystyle (Q,\Sigma ,\Delta ,S,F)}$ , где:

• ${\displaystyle Q}$  — множество состояний автомата
• ${\displaystyle \Sigma }$  — алфавит языка, который понимает автомат
• ${\displaystyle \Delta }$  — отношение перехода, ${\displaystyle \Delta =\{<q,a,p>:q,p\in Q,a\in \Sigma \cap \{e\}\}}$ , где ${\displaystyle \{e\}}$  - пустое слово. То есть, НКА может совершить скачок из состояния q в состояние p, в отличие от ДКА, через пустое слово, а также перейти из q по a несколько состояний (что опять же в ДКА невозможно)
• ${\displaystyle S\subseteq Q}$  — множество начальных состояний
• ${\displaystyle F\subseteq Q}$  — множество конечных состояний.

Слово

Автомат читает конечную строку символов a₁,a₂,…., a_n , где a_i ∈ Σ, которая называется входным словом.Набор всех слов записывается как Σ*.

Принимаемое слово

Слово w ∈ Σ* принимается автоматом, если q_n ∈ F.

Говорят, что язык L читается (принимается) автоматом M, если он состоит из слов w на базе алфавита ${\displaystyle \Sigma }$  таких, что если эти слова вводятся в M, по окончанию обработки он приходит в одно из принимающих состояний F:

Обычно автомат переходит из состояния в состояние с помощью функции перехода ${\displaystyle \delta }$ , читая при этом один символ из ввода. Есть автоматы, которые могут перейти в новое состояние без чтения символа. Функция перехода без чтения символа называется ${\displaystyle \epsilon }$ -переход (эпсилон-переход).

Теория автоматов лежит в основе всех цифровых технологий и программного обеспечения, так например компьютер является частным случаем практической реализации конечного автомата.

Часть математического аппарата теории автоматов напрямую применяется при разработке лексеров и парсеров для формальных языков, в том числе языков программирования, а также при построении компиляторов и разработке самих языков программирования.

Другое важнейшее применение теории автоматов — математически строгое нахождение разрешимости и сложности задач.

Типовые задачи

• Построение и минимизация автоматов — построение абстрактного автомата из заданного класса, решающего заданную задачу (принимающего заданный язык), возможно, с последующей минимизацией по числу состояний или числу переходов.
• Синтез автоматов — построение системы из заданных «элементарных автоматов», эквивалентной заданному автомату. Такой автомат называется структурным. Применяется, например, при синтезе цифровых электрических схем на заданной элементной базе.

• Лемма о накачке
• Абстрактный автомат
• Игра «Жизнь»
• Минимальная форма автомата
• Теорема Шеннона — Лупанова

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: Вильямс, 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1.
• Касьянов В. Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. — Новосибирск: НГУ, 1995. — C. 112.

• Лекции по теории автоматов
• Применение теории автоматов