Теорема о сумме углов треугольника

Пусть ${\displaystyle \Delta ABC}$  — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, что у любого треугольника не меньше двух острых углов. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°.

Существует более сложное соотношение между двугранными углами произвольного симплекса. А именно, если ${\displaystyle L_{ij}}$  — угол между i и j гранями симплекса, то определитель следующей матрицы (являющейся циркулянтом) равен 0:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos L_{12}&-\cos L_{13}&\dots &-\cos L_{1(n+1)}\\-\cos L_{21}&1&-\cos L_{23}&\dots &-\cos L_{2(n+1)}\\-\cos L_{31}&-\cos L_{32}&1&\dots &-\cos L_{3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\-\cos L_{(n+1)1}&-\cos L_{(n+1)2}&-\cos L_{(n+1)3}&\dots &1\\\end{vmatrix}}=0}$ .

Это следует из того, что этот определитель является определителем Грама нормалей к граням симплекса, а определитель Грама линейно зависимых векторов равен 0, и ${\displaystyle n+1}$  вектор в ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве всегда линейно зависимы.

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла.

Пример. Одна вершина треугольника на сфере — северный полюс. Этот угол может иметь значение до 180°. Две другие вершины лежат на экваторе, соответствующие углы равны 90°.

• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. Разность также пропорциональна площади треугольника.

• Треугольник
• Теорема о сумме углов многоугольника