Теорема Хопфа — Ринова

Теорема Хопфа ― Ринова утверждает, что для риманова многообразия ${\displaystyle M}$ следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle M}$ ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство);
• для каждой точки ${\displaystyle p\in M}$ экспоненциальное отображение ${\displaystyle exp_{p}:T_{p}\to M}$ определено на всем ${\displaystyle T_{p}}$ (где ${\displaystyle T_{p}}$ ― касательное пространство к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p}$);
• каждое ограниченное в ${\displaystyle M}$ замкнутое множество компактно.