Теорема Ролля

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ и дифференцируемая на интервале ${\displaystyle (a;b)}$, принимает на концах отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ одинаковые значения, то на интервале ${\displaystyle (a;b)}$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Шаблон:/рамка

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по Лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствие

Если дифференцируемая функция обращается в ноль в ${\displaystyle n}$ различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в ${\displaystyle n-1}$ различных точках^[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Ещё одно следствие

Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. также

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений.
• Теорема Коши о среднем значении.
• Ролль, Мишель

Примечания

Литература

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.