Теорема Кронекера — Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. Шаблон:/рамка

Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Пояснения

Уравнение ${\displaystyle Ax=b}$ разрешимо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle rkA=rk(A,b)}$, где ${\displaystyle (A,b)}$- матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b^[1].

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ такие, что ${\displaystyle b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}}$. Следовательно, столбец ${\displaystyle b}$ является линейной комбинацией столбцов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B}$.

Достаточность

Пусть ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B=r}$. Возьмем в матрице ${\displaystyle A}$ какой-нибудь базисный минор. Так как ${\displaystyle \operatorname {rang} B=r}$, то он же и будет базисным минором и матрицы ${\displaystyle B}$. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы ${\displaystyle B}$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы ${\displaystyle A}$. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы ${\displaystyle A}$.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

• Матрица (математика)
• Кро́некер, Леопо́льд
• Капе́лли, Альфре́до

Примечания

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.