Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
|
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.Шаблон:/рамка Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Содержание
ПоясненияУравнение Ax=b{displaystyle Ax=b} разрешимо тогда и только тогда, когда rkA=rk(A,b){displaystyle rkA=rk(A,b)}, где (A,b){displaystyle (A,b)}-матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b[1]. Доказательство (условия совместности системы)НеобходимостьПусть система совместна. Тогда существуют числа x1,…,xn∈R{displaystyle x_{1},dots ,x_{n}in mathbb {R} } такие, что b=x1a1+⋯+xnan{displaystyle b=x_{1}a_{1}+dots +x_{n}a_{n}}. Следовательно, столбец b{displaystyle b} является линейной комбинацией столбцов a1,…,an{displaystyle a_{1},dots ,a_{n}} матрицы A{displaystyle A}. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что rangA=rangB{displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} B}. ДостаточностьПусть rangA=rangB=r{displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} B=r}. Возьмем в матрице A{displaystyle A} какой-нибудь базисный минор.Так как rangB=r{displaystyle operatorname {rang} B=r}, то он же и будет базисным минором и матрицы B{displaystyle B}.Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы B{displaystyle B} будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A{displaystyle A}.Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A{displaystyle A}. Следствия
См. такжеПримечанияЛитература
|
разрешимо тогда и только тогда, когда rkA=rk(A,b){displaystyle rkA=rk(A,b)}
, где (A,b){displaystyle (A,b)}
-матрица, полученная из матрицы A приписыванием столбца b
такие, что b=x1a1+⋯+xnan{displaystyle b=x_{1}a_{1}+dots +x_{n}a_{n}}
. Следовательно, столбец b{displaystyle b}
является линейной комбинацией столбцов a1,…,an{displaystyle a_{1},dots ,a_{n}}
. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что rangA=rangB{displaystyle operatorname {rang} A=operatorname {rang} B}
.
. Возьмем в матрице A{displaystyle A}
, то он же и будет базисным минором и матрицы B{displaystyle B}
.Тогда, согласно теореме о базисном 