Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\displaystyle \mathrm {F} _{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}$ 

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\displaystyle \mathrm {F} _{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}=\nabla _{i}A_{k}-\nabla _{k}A_{i}}$ 

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на конфигурационном многообразии, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

${\displaystyle F=\mathbf {d} A}$ 

Отсюда также очевидна его ковариантность.

• ${\displaystyle F_{ik}}$  — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

${\displaystyle \ F^{ik}F_{ik}=B^{2}-E^{2}=inv}$ 

${\displaystyle \varepsilon ^{iklm}F_{ik}F_{lm}=\left(\mathbf {E} ;\mathbf {B} \right)=inv}$ 

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

${\displaystyle F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)}$ 

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

${\displaystyle F_{ik}=\left(\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)}$ 

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

${\displaystyle F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)}$ 

что обозначается как

${\displaystyle F^{ik}=\left(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} \right)}$ 

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае нелинейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\displaystyle E_{x}=E_{x}^{\prime },~~~E_{y}={\frac {E_{y}^{\prime }+{V \over c}B_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~E_{z}={\frac {E_{z}^{\prime }-{V \over c}B_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle B_{x}=B_{x}^{\prime },~~~B_{y}={\frac {B_{y}^{\prime }-{V \over c}E_{z}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}},~~~B_{z}={\frac {B_{z}^{\prime }+{V \over c}E_{y}^{\prime }}{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}}$ 

Непосредственно из определения следует, что

${\displaystyle \mathbf {d} F=0}$ 

В компонентах это выражение принимает вид

${\displaystyle \varepsilon _{ijkm}{\frac {\partial F_{ij}}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial F_{ij}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial F_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial F_{ki}}{\partial x^{j}}}=0}$ 

где ${\displaystyle \varepsilon _{ijkm}}$  — символ Леви — Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0}$ 

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ 

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

${\displaystyle \nabla _{k}F^{ik}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{i}}$ 

где ${\displaystyle j^{i}}$  — вектор 4-тока.

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы по формуле

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{k}=F^{ik}u_{i}}$ 

• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля