wiki

Тензор Риччи

В дифференциальной геометрии тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задает один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объема, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.

Содержание

Формальное определение

Пусть (M,g){displaystyle (M,g)}

  — n-мерное риманово многообразие, а TpM{displaystyle T_{p}M}  — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары ξ,η∈TpM{displaystyle xi ,eta in T_{p}M}  касательных векторов в точке p, тензор Риччи Ric(ξ,η){displaystyle mathrm {Ric} (xi ,eta )} , по определению, отображает (ξ,η){displaystyle (xi ,eta )}  в след линейного автоморфизма TpM→TpM{displaystyle T_{p}Mto T_{p}M} , заданного тензором кривизны Римана R:

ζ↦R(ζ,η)ξ{displaystyle zeta mapsto R(zeta ,eta )xi } 

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

Ric=Rijdxi⊗dxj{displaystyle operatorname {Ric} =R_{ij},dx^{i}otimes dx^{j}} 

где Rij=Rkikj.{displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}

  — след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия (M,g){displaystyle (M,g)}

  можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические совпадают с координатными линиями. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства δij{displaystyle delta _{ij}}  (или метрике Минковского ηij{displaystyle eta _{ij}}  в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:

dμg=[1−16Rjkxjxk+O(|x|3)]dμEuclidean{displaystyle dmu _{g}={Big [}1-{frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3})]dmu _{rm {Euclidean}}} 

Таким образом, если кривизна Риччи Ric(ξ,ξ){displaystyle {textrm {Ric}}(xi ,xi )}

  положительна в направлении вектора ξ{displaystyle xi } , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении ξ{displaystyle xi } , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора ξ{displaystyle xi }  будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Приложения тензора Риччи

Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна.

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также

Читайте также