Тензор Риччи

В дифференциальной геометрии тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задает один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объема, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.

Формальное определение

Пусть $(M,g)$ — n-мерное риманово многообразие, а $T_{p}M$ — касательное пространство к M в точке p. Для любой пары $\xi ,\eta \in T_{p}M$ касательных векторов в точке p, тензор Риччи $\mathrm {Ric} (\xi ,\eta )$ , по определению, отображает $(\xi ,\eta )$ в след линейного автоморфизма $T_{p}M\to T_{p}M$ , заданного тензором кривизны Римана R:

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

\operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

где $R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.$ — след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия $(M,g)$ можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические совпадают с координатными линиями. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства $\delta _{ij}$ (или метрике Минковского $\eta _{ij}$ в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3})]d\mu _{\rm {Euclidean}}

Таким образом, если кривизна Риччи ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ положительна в направлении вектора $\xi$ , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении $\xi$ , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора $\xi$ будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Приложения тензора Риччи

Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна.

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также