Тензорный анализ

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей ${\displaystyle D(M)}$ дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры ${\displaystyle D(M)}$.

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ — линейное отображение ${\displaystyle \nabla _{X}}$ пространства векторных полей ${\displaystyle D^{1}(M)}$ многообразия ${\displaystyle M}$, зависящее от векторного поля ${\displaystyle X}$ и удовлетворяющее условиям:

${\displaystyle \nabla _{f}X+{}_{gV}Z=f\nabla _{X}Z,}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,}$

где ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z\in D'(M)}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ — гладкие функции на ${\displaystyle M}$. Определяемые этим оператором связность ${\displaystyle \Gamma }$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры ${\displaystyle D(M)}$ в себя; при этом отображение ${\displaystyle \nabla X}$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.

В локальных координатах ${\displaystyle u^{1},u^{2},\ldots ,u^{n}}$ ковариантная производная тензора с компонентами ${\displaystyle T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})}$ относительно вектора ${\displaystyle X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}}$ определяется так:

${\displaystyle \nabla _{X}T=\xi ^{s}({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}),}$

${\displaystyle \Gamma _{ks}^{i}}$ — объект связности ${\displaystyle \Gamma }$.

2) Ли производная вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ — оторажение ${\displaystyle L_{X}}$ пространства ${\displaystyle D'(M)}$, определяемое формулой ${\displaystyle L_{X}~:~Y\rightarrow [X,~Y]}$, где ${\displaystyle [X,~Y]}$ — коммутатор векторных полей ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования ${\displaystyle D(M)}$, сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора ${\displaystyle T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})}$ выражается так:

${\displaystyle L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{k}}}+T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}{\frac {\partial \xi ^{k}}{\partial u^{i}}}+\ldots -T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}{\frac {\partial \xi ^{i_{1}}}{\partial u^{k}}}-\ldots .}$

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор ${\displaystyle d}$, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени ${\displaystyle p}$ форму такого же вида и степени ${\displaystyle p+1}$, удовлетворяющий условиям:

${\displaystyle d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},~~~~d(d\omega )=0,}$

где ${\displaystyle \wedge }$ — символ внешнего произведения, ${\displaystyle r}$ — степень ${\displaystyle \omega _{1}}$. В локальных координатах внешняя производная тензора ${\displaystyle \omega \langle \omega _{i_{1}\ldots i_{p}}\rangle }$ выражается так:

${\displaystyle d\omega =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{i_{1}\ldots {\hat {i}}_{k}\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_{k}}}}.}$

Оператор ${\displaystyle d}$ — обобщение оператора ${\displaystyle \operatorname {rot} }$.

4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора ${\displaystyle g_{if}}$ представляет собой действие некоторого нелинейного оператора ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle g_{if}\rightarrow R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s}}{\partial u^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^{p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}),}$

где

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{s}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}).}$