Тензорное произведение

Конечномерные пространства

Пусть ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$  — конечномерные векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1\dots n}}$  — базис в ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1\dots m}}$  — базис в ${\displaystyle B}$ . Тензорным произведением ${\displaystyle A\otimes B}$  пространств ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$  будем называть векторное пространство, порождённое элементами ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$ , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$  произвольных векторов ${\displaystyle a\in A,~b\in B}$  можно определить, полагая операцию ${\displaystyle \otimes }$  билинейной:

${\displaystyle (\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K}$ 

${\displaystyle a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K}$ 

При этом тензорное произведение произвольных векторов ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  выражается как линейная комбинация базисных векторов ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{k}}$ . Элементы в ${\displaystyle A\otimes B}$ , представимые в виде ${\displaystyle a\otimes b}$ , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства ${\displaystyle C}$  и билинейного отображения ${\displaystyle \otimes ^{\prime }:A\times B\to C}$  существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle f:A\otimes B\to C}$  такой, что

${\displaystyle \otimes ^{\prime }=f\circ \otimes }$ 

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$ , так как все получающиеся при этом пространства ${\displaystyle A\otimes B}$  оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, произвольное билинейное отображение ${\displaystyle L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C}$  может быть определено как линейное отображение ${\displaystyle L\ni \varphi :A\otimes B\to C}$ , причём достаточно задать его лишь на произведениях базисных векторов.

Пространства ${\displaystyle \ L^{2}(A\times B,C)}$  и ${\displaystyle L(A\otimes B,C)}$  являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства. Тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ ⊗ V₃, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

${\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$ 

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

${\displaystyle F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W}$ 

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

${\displaystyle F=L\circ \varphi }$ 

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$ 

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств V_i, i ∈ I, определяется как универсальный объекст для полилинейных отображений из прямого произведения ${\displaystyle \scriptstyle \prod _{i\in I}V_{i}.}$ 

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

${\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.}$ 

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть ${\displaystyle A:U_{1}\to U_{2}}$ , ${\displaystyle B:W_{1}\to W_{2}}$  — линейные операторы. Тензорное произведение операторов ${\displaystyle A\otimes B:U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}}$  определяется по правилу

${\displaystyle (A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}}$ 

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.^[1]

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}$ 

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

${\displaystyle \mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=}$ 

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}}$ 

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}}$ 

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}}$ 

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, компоненты ( координаты ) тензора, равны произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

${\displaystyle P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}}$ 

${\displaystyle P_{ij}\ =a_{i}b_{j}}$ 

${\displaystyle P^{ij}\ =a^{i}b^{j}}$ 

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

• ${\displaystyle \dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B}$ 

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)}$ 

• Коммутативность

${\displaystyle A\otimes B\simeq B\otimes A}$ 

• Линейность

${\displaystyle A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$ 

${\displaystyle \oplus }$  — внешняя сумма линейных пространств.

Пусть ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$  — модули над некоторым коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ . Тензорным произведением модулей называется модуль ${\displaystyle B}$  над ${\displaystyle R}$ , данный вместе с полилинейным отображением ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$  и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля ${\displaystyle C}$  над ${\displaystyle R}$  и любого полилинейного отображения ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$  существует единственный гомоморфизм модулей ${\displaystyle h\colon B\to C}$  такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается ${\displaystyle A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}}$ . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль ${\displaystyle M}$ , образующими которого будут n-ки элементов модулей ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$  где ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ . Пусть ${\displaystyle N}$  — подмодуль ${\displaystyle M}$ , порождаемый следующими элементами:

1. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})}$ 
2. ${\displaystyle (x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$ 

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль ${\displaystyle B=M/N}$ , класс ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})+N}$  обозначается ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$ , и называется тензорным произведением элементов ${\displaystyle x_{i}}$ , a ${\displaystyle f}$  определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение ${\displaystyle f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B}$  полилинейно. Докажем, что для для любого модуля ${\displaystyle C}$  и любого полилинейного отображения ${\displaystyle g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C}$  существует единственный гомоморфизм модулей ${\displaystyle h}$ , такой, что ${\displaystyle g=h\circ f}$ .

В самом деле, так как ${\displaystyle M}$  свободен, то существует единственное отображение ${\displaystyle h^{*}}$ , делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что ${\displaystyle g}$  полилинейно, то на ${\displaystyle N}$  ${\displaystyle h^{*}(N)=0}$ , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что ${\displaystyle h\colon M/N\to C}$ , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы ${\displaystyle A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}}$ , представимые в виде ${\displaystyle x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}}$ , называются разложимыми.

Если ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}}$  — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

${\displaystyle f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}}$ 

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов ${\displaystyle f_{i}}$ .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть ${\displaystyle e_{i1},\dots ,e_{in}}$  — базис модуля ${\displaystyle A_{i}}$ . Построим свободный модуль ${\displaystyle F}$  над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$ , определив отображение ${\displaystyle f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$  и распространив его на ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}}$  по линейности. Тогда ${\displaystyle F}$  является тензорным произведением, где ${\displaystyle (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})}$  является тензорным произведением элементов ${\displaystyle e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}}$ . Если число модулей и все их базисы конечны, то

${\displaystyle rank(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=rankA_{1}\cdot \dots \cdot rankA_{n}}$ .

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

1. ↑ Hazewinkel, Michiel. Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Nadiya Gubareni … [и др.]. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле
• Тензорная алгебра