Телесный угол

Для произвольной стягивающей поверхности ${\displaystyle S}$  телесный угол ${\displaystyle \Omega }$ , под которым она видна из начала координат, равен

${\displaystyle \Omega =\iint \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta d\varphi d\vartheta =\iint \limits _{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}$ 

где ${\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }$  — сферические координаты элемента поверхности ${\displaystyle dS,}$  ${\displaystyle \mathbf {r} }$  — его радиус-вектор, ${\displaystyle \mathbf {n} }$  — единичный вектор, нормальный к ${\displaystyle dS.}$ 

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен ${\displaystyle 4\pi }$  стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

• Треугольник с координатами вершин ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ , ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$  виден из начала координат под телесным углом

${\displaystyle \Omega =2\,\mathrm {arctg} \,{\frac {(\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+(\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2})r_{3}+(\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {r} _{3})r_{1}+(\mathbf {r} _{3}\cdot \mathbf {r} _{1})r_{2}}},}$ 

где ${\displaystyle (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}$  — смешанное произведение данных векторов, ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})}$  — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен ${\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos {\frac {\alpha }{2}})}$ . Если известны радиус основания ${\displaystyle R}$  и высота ${\displaystyle H}$  конуса, то ${\displaystyle \Omega =2\pi (1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}})}$ . Когда угол раствора конуса мал, ${\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}}$  (${\displaystyle \alpha }$  выражено в радианах), или ${\displaystyle \Omega \approx 0,000239\alpha ^{2}}$  (${\displaystyle \alpha }$  выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах:

• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы ${\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}$  при вершине, как:

${\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}$ , где ${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}$  — полупериметр.

Через двугранные углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$  телесный угол выражается, как:

${\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }$ 

• Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$  полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$  стерадиан.

• Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$  полного телесного угла, или ${\displaystyle {\frac {4\pi }{N}}}$  стерадиан.

• Угол
• Двугранный угол
• Трехгранный угол
• Многогранный угол