Счётное множество
В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: "алеф-нуль").
Свойства
- Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]
- Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]
- Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
- Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
- Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.
Связанные понятия
Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.
Примеры
Счётные множества
- Простые числа
- Натуральные числа
- Целые числа
- Рациональные числа
- Алгебраические числа
- Кольцо периодов
- Вычислимые числа
- Арифметические числа
- Множество всех конечных слов над счётным алфавитом
- Множество всех слов над конечным алфавитом
- Любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси
- Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами
- Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны
Несчётные множества
Примечания
- ↑ 1 2 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 62 — 63. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
См. также