Сферический треугольник — геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших кругов. Три больших круга на поверхности сферы, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым.
Сторона сферического треугольника измеряется величиной опирающегося на неё центрального угла. Угол сферического треугольника измеряется величиной двугранного угла между плоскостями, в которых лежат стороны этого угла. Соотношения между элементами сферических треугольников изучает сферическая тригонометрия.
Содержание
Свойства
- Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников верен ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны[1]:16.
- Для сторон сферического треугольника выполняются 3 неравенства треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности[1]:11.
- Сумма всех сторон a+b+c{displaystyle a+b+c} всегда меньше 2π{displaystyle 2pi } [1]:11.
- Сумма углов сферического треугольника s=α+β+γ{displaystyle s=alpha +beta +gamma } всегда меньше 3π{displaystyle 3pi } и больше π{displaystyle pi } [4][5][1]:14-15.
- Величина s−π=ε{displaystyle s-pi =varepsilon } называется сферическим избытком или сферическим эксцессом[2].
- Площадь сферического треугольника определяется по формуле S=R2ε{displaystyle S=R^{2}varepsilon } . Пропорциональность площади сферическому избытку следует из покрытия сферы тремя двуугольниками, образующими сферический треугольник. [6][7][1]:44
всегда меньше 2π{displaystyle 2pi }
называется сферическим дефектом
всегда меньше 3π{displaystyle 3pi }
и больше π{displaystyle pi }
называется сферическим избытком или сферическим эксцессом
. Пропорциональность площади сферическому избытку следует из покрытия сферы тремя - Если от двух углов сферического треугольника отнимем третий, получим угол, меньший π{displaystyle pi } .[1]:15.
- В отличие от плоского треугольника, у сферического треугольника может быть два тупых угла.
Решение сферических треугольников
Основная статья: Решение треугольников
Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера. А чтобы решить косоугольный сферический треугольник, необходимо знать три его элемента. Для решения можно использовать следующие соотношения между ними[1]:102-139:
- Формула половины стороны и формула половины угла — при решении по трём сторонам и трём углам;
- Формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне;
- Теорема синусов и формулы аналогии Непера — при решении по двум сторонам и противолежащему одной из них углу и по двум углам и противолежащей одному из них стороне.
Примечания
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
- ↑ 1 2 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1974.
- ↑ Сферический треугольник
- ↑ Статья в Успехах физических наук
- ↑ Weisstein, Eric W. Сферический треугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Вентцель М.К. Сферическая тригонометрия. 2 изд, ИГКЛ, 1948, 115с (доступно на bookfi.org) Строгое доказательство пропорциональности площади сферическому избытку — на с. 82
- ↑ Васильев Н., Гутенмахер В., Сумма углов сферического многоугольника. Квант, № 2, 1988
