Сферические функции

Разделы:

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физическихявлений в пространственных областях, ограниченных сферическимиповерхностями и при решении физических задач, обладающихсферической симметрией.

Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Содержание

1 Определение
2 Литература
3 См. также
4 Приложения
5 Ссылки

Определение

Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение Ylm(θ,φ){displaystyle Y_{lm}(theta ,varphi )}

$Y_{{lm}}(theta ,varphi )$ ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

⟨Ylm;Ylm⟩=∬|Ylm|2sin⁡θdθdφ=1{displaystyle langle Y_{lm};Y_{lm}rangle =iint |Y_{lm}|^{2}sin {theta },dtheta ,dvarphi =1}

langle Y_{{lm}};Y_{{lm}}rangle =iint |Y_{{lm}}|^{2}sin {theta },dtheta ,dvarphi =1

⟨Ylm;Yl′m′⟩=∫02π∫0πYl′m′∗Ylmsin⁡θdθdφ=δll′δmm′{displaystyle langle Y_{lm};Y_{l’m’}rangle =int limits _{0}^{2pi }int limits _{0}^{pi }Y_{l’m’}^{*}Y_{lm}sin {theta },dtheta ,dvarphi =delta _{ll’}delta _{mm’}}

langle Y_{{lm}};Y_{{l'm'}}rangle =int limits _{0}^{{2pi }}int limits _{0}^{{pi }}Y_{{l'm'}}^{*}Y_{{lm}}sin {theta },dtheta ,dvarphi =delta _{{ll'}}delta _{{mm'}}

где * обозначает комплексное сопряжение, δll′{displaystyle delta _{ll’}}

$delta _{{ll'}}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

Ylm=12πeimφΘlm(θ){displaystyle Y_{lm}={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{imvarphi }Theta _{lm}(theta )}

Y_{{lm}}={frac {1}{{sqrt {2pi }}}}e^{{imvarphi }}Theta _{{lm}}(theta )

где функции Θlm(θ){displaystyle Theta _{lm}(theta )}

$Theta _{{lm}}(theta )$ являются решениями уравнения

1sin⁡θddθ(sin⁡θdΘlmdθ)−m2sin2⁡θΘlm+l(l+1)Θlm=0{displaystyle {frac {1}{sin {theta }}}{frac {d}{dtheta }}left(sin {theta }{frac {dTheta _{lm}}{dtheta }}right)-{frac {m^{2}}{sin ^{2}{theta }}}Theta _{lm}+l(l+1)Theta _{lm}=0}

{frac {1}{sin {theta }}}{frac {d}{dtheta }}left(sin {theta }{frac {dTheta _{{lm}}}{dtheta }}right)-{frac {m^{2}}{sin ^{2}{theta }}}Theta _{{lm}}+l(l+1)Theta _{{lm}}=0

и имеют вид

Θlm=(−1)m2l+12(l−m)!(l+m)!Plm(cos⁡θ){displaystyle Theta _{lm}=(-1)^{m}{sqrt {{frac {2l+1}{2}}{frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(cos theta )}

Theta _{{lm}}=(-1)^{m}{sqrt {{frac {2l+1}{2}}{frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(cos theta )

Здесь Plm(cos⁡θ){displaystyle P_{l}^{m}(cos theta )}

$P_{l}^{m}(cos theta )$ — присоединённые многочлены Лежандра, а m!{displaystyle m!} $m!$ — факториал.

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения

См. также

Список сферических функций

Приложения

Ссылки

Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
Spherical harmonics entry at Citizendium

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.