Сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией.


Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

 
Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение  ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

 
 ,

где * обозначает комплексное сопряжение,   — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

 ,

где функции   являются решениями уравнения

 

и имеют вид

 

Здесь   — присоединённые многочлены Лежандра, а   — факториал.

Литература


См. также

Приложения

Ссылки