Сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией.

Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

Вещественные сферические функции Y_lm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y_l-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$ ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

\langle Y_{lm};Y_{lm}\rangle =\iint |Y_{lm}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1

\langle Y_{lm};Y_{l'm'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'm'}^{*}Y_{lm}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}

,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, $\delta _{ll'}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

Y_{lm}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )

,

где функции $\Theta _{lm}(\theta )$ являются решениями уравнения

{\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0

и имеют вид

\Theta _{lm}=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )

Здесь $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ — присоединённые многочлены Лежандра, а $m!$ — факториал.

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения

См. также

Список сферических функций

Приложения

Ссылки

Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
Spherical harmonics entry at Citizendium