Сферическая система координат

Положение точки ${\displaystyle P}$  в сферической системе координат определяется тройкой ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ , где

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$  — расстояние от начала координат до заданной точки ${\displaystyle P}$ .
• ${\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$  — угол между осью ${\displaystyle z}$  и отрезком, соединяющим начало координат и точку ${\displaystyle P}$ .
• ${\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }}$  — угол между осью ${\displaystyle x}$  и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой ${\displaystyle P}$ , на плоскость ${\displaystyle xy}$  (см. рис. 1).

Угол ${\displaystyle \theta }$  называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол ${\displaystyle \varphi }$  — азимутальным. Углы ${\displaystyle \theta }$  и ${\displaystyle \varphi }$  не определены при ${\displaystyle r=0}$ , также не определён угол ${\displaystyle \varphi }$  при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$  (то есть при ${\displaystyle \theta =0}$  или ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$ ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла ${\displaystyle \theta }$ , используется угол между радиус-вектором точки ${\displaystyle P}$  и плоскостью ${\displaystyle xy}$ , равный ${\displaystyle 90^{\circ }-\theta }$ . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой ${\displaystyle \theta }$ . Широта может изменяться в пределах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$ . При этом соглашении углы ${\displaystyle \theta }$  и ${\displaystyle \varphi }$  не имеют значения при ${\displaystyle r=0}$ , так же как и в первом случае, а ${\displaystyle \varphi }$  не имеет значения при ${\displaystyle \cos(\theta )=0}$  (то есть при ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$  или ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$ ).

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$ 

Обратно, от декартовых к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}}$ 

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен ${\displaystyle J=r^{2}\sin \theta .\ }$ 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$ 

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$ 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$ 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим ${\displaystyle J=r}$ .

Вектор ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$ , проведённый из точки ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$  в точку ${\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}$ , равен

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,}$ 

где

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$ 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения ${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$ , соответственно, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$  — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$ 

• ${\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }$ 
• Квадрат дифференциала длины дуги:

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$ 

• Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}$ 

• Символы Кристоффеля ${\displaystyle \{r,\;\theta ,\;\varphi \}}$ :

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}$ 

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}$ 

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .}$ 

Остальные равны нулю.

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом^[1]:

• ее начало помещено в центр Земли;
• полярная ось направлена по оси вращения Земли;
• координата ${\displaystyle r}$  отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
• полярный угол ${\displaystyle \theta }$  есть коширота (дополнение географической широты ${\displaystyle \varphi }$  до ${\displaystyle 90^{\circ }}$ );
• азимутальный угол ${\displaystyle \lambda }$  совпадает с географической долготой (восточной).

• Углы Эйлера
• Гиперсфера § Гиперсферические координаты

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.